Пятый постулат

Пятый постулат — это аксиома, входящая в систему постулатов геометрии Евклида, которая в наиболее известной формулировке гласит: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной». В отличие от первых четырёх постулатов, которые кажутся интуитивно очевидными, пятый постулат является более сложным и менее наглядным. На протяжении более двух тысячелетий математики пытались доказать его как теорему, исходя из остальных аксиом, что привело к возникновению неевклидовых геометрий. Пятый постулат также известен как аксиома параллельности.

История

Формулировка Евклида

В «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.) пятый постулат сформулирован следующим образом: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Эта формулировка отличается от современной, но эквивалентна ей. Уже в древности геометры отмечали, что пятый постулат менее очевиден, чем остальные, и предпринимали попытки вывести его из других аксиом.

Попытки доказательства в античности и Средневековье

Первые попытки доказательства пятого постулата предпринимались ещё в античной Греции. Прокл Диадох (V век н. э.) в комментариях к «Началам» Евклида предложил несколько подходов, которые, однако, содержали логические ошибки или опирались на неявные допущения, эквивалентные самому постулату. В исламском мире математики, такие как Сабит ибн Курра (IX век), Ибн аль-Хайсам (XI век) и Омар Хайям (XII век), также занимались этой проблемой. Хайям, например, пытался доказать постулат, используя понятие суммы углов треугольника, но его рассуждения опирались на недоказанное утверждение о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам — что само по себе эквивалентно пятому постулату.

Попытки в эпоху Возрождения и Новое время

В Европе интерес к проблеме пятого постулата возобновился в XVI–XVII веках. Джон Валлис (XVII век) предложил доказательство, основанное на существовании подобных треугольников, что также оказалось эквивалентным постулату. В XVIII веке итальянский математик Джироламо Саккери в своей работе «Евклид, очищенный от всех пятен» (1733) попытался доказать постулат от противного. Он рассматривал четырёхугольник с двумя прямыми углами при основании (четырёхугольник Саккери) и предположил, что верхние углы могут быть тупыми, прямыми или острыми. Саккери опроверг гипотезу тупого угла, но при попытке опровергнуть гипотезу острого угла пришёл к выводам, которые позже были признаны основой неевклидовой геометрии, однако сам он счёл их противоречащими «природе прямой линии» и отбросил.

Открытие неевклидовой геометрии

В начале XIX века несколько математиков независимо друг от друга пришли к выводу, что пятый постулат недоказуем и что его отрицание приводит к непротиворечивым геометрическим системам. Наиболее известными среди них являются:

• Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) — немецкий математик, который ещё в 1820-х годах разработал основы неевклидовой геометрии, но не опубликовал свои результаты из-за опасений критики.
• Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) — русский математик, который в 1826 году представил доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», а в 1829 году опубликовал работу «О началах геометрии», в которой впервые изложил непротиворечивую геометрию, где пятый постулат заменён на противоположное утверждение. Эта геометрия получила название геометрии Лобачевского.
• Янош Бойяи (1802–1860) — венгерский математик, который в 1832 году опубликовал «Аппендикс» к книге своего отца, содержащий изложение неевклидовой геометрии, независимо от Лобачевского.

Таким образом, пятый постулат оказался независимым от остальных аксиом Евклида. Его замена на противоположное утверждение (через точку можно провести более одной прямой, параллельной данной) привела к созданию гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского), а замена на утверждение о том, что параллельных прямых не существует (через точку нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной) — к созданию эллиптической геометрии (геометрии Римана).

Эквивалентные формулировки

Существует множество утверждений, которые в рамках евклидовой геометрии эквивалентны пятому постулату. Наиболее известные из них:

• Аксиома параллельности Плейфера: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
• Сумма углов треугольника: сумма углов любого треугольника равна 180° (двум прямым углам).
• Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в евклидовой геометрии).
• Существование подобных треугольников: существуют подобные, но не равные треугольники.
• Постоянство расстояния между параллельными прямыми: расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно.
• Теорема о сумме углов четырёхугольника: сумма углов любого четырёхугольника равна 360°.

Эти утверждения не могут быть доказаны без использования пятого постулата, и их истинность или ложность определяет тип геометрии.

Геометрии, основанные на отрицании пятого постулата

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия)

В геометрии Лобачевского пятый постулат заменён на следующее утверждение: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В этой геометрии:

• Сумма углов треугольника меньше 180°.
• Площадь треугольника пропорциональна его дефекту (разности между 180° и суммой углов).
• Не существует подобных треугольников (треугольники с равными углами равны).
• Через точку, не лежащую на прямой, можно провести две прямые, не пересекающие данную (граничные параллельные), и бесконечно много прямых, расходящихся с ней.

Геометрия Римана (эллиптическая геометрия)

В геометрии Римана пятый постулат заменён на утверждение: через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной (любые две прямые пересекаются). В этой геометрии:

• Сумма углов треугольника больше 180°.
• Все прямые имеют конечную длину (замкнуты, как большие круги на сфере).
• Прямая линия в эллиптической геометрии — это кратчайшая линия на сфере (геодезическая), например, большой круг.

Значение

Пятый постулат сыграл ключевую роль в развитии математики. Его анализ привёл к осознанию того, что геометрия не является единственной и абсолютной истиной, а представляет собой формальную аксиоматическую систему, которая может быть изменена. Это открытие заложило основы для развития неевклидовых геометрий, которые нашли применение в физике (в частности, в общей теории относительности Эйнштейна, где пространство-время описывается римановой геометрией) и в других областях математики. Кроме того, проблема пятого постулата стимулировала развитие аксиоматического метода и формальной логики, что привело к созданию современной теории множеств и математической логики.

Источники

• Евклид. «Начала» (книга I, постулат 5).
• Лобачевский Н. И. «О началах геометрии» (1829).
• Риман Б. «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854).
• Саккери Д. «Евклид, очищенный от всех пятен» (1733).
• Бойяи Я. «Аппендикс» (1832).
• Энциклопедия математики (под редакцией И. М. Виноградова).