Разность векторов в математике¶

Разность векторов — это результат операции вычитания одного вектора из другого, определяемый как прибавление к первому вектору вектора, противоположного второму. Наряду со сложением вычитание относится к базовым линейным операциям над векторами и широко применяется в аналитической геометрии, физике, механике и вычислительной математике. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ разность обозначается $\vec{a} - \vec{b}$ и вычисляется по правилу $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$, где $-\vec{b}$ — вектор, равный по длине $\vec{b}$, но противоположный ему по направлению.

¶Определение и основные свойства

Вектором называют направленный отрезок, характеризуемый длиной (модулем) и направлением. Операция вычитания вводится через уже определённое сложение: разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с $\vec{b}$ даёт $\vec{a}$, то есть $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ тогда и только тогда, когда $\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}$.

Из определения следуют свойства:

• Антикоммутативность: $\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})$. Перестановка уменьшаемого и вычитаемого меняет знак результата.
• Связь с нулевым вектором: $\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$; вычитание нулевого вектора не меняет исходный: $\vec{a} - \vec{0} = \vec{a}$.
• Дистрибутивность относительно скаляра: $\lambda(\vec{a} - \vec{b}) = \lambda\vec{a} - \lambda\vec{b}$ для любого числа $\lambda$.
• Ассоциативность с учётом знаков: $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$.

Операция вычитания замкнута в векторном пространстве: разность двух векторов всегда является вектором той же размерности.

¶Геометрические способы построения

¶Правило треугольника

Чтобы построить разность $\vec{a} - \vec{b}$, векторы приводят к общему началу. Тогда вектор, проведённый из конца вычитаемого вектора $\vec{b}$ в конец уменьшаемого $\vec{a}$, и будет искомой разностью. Это так называемое правило треугольника: $\vec{a} - \vec{b}$ направлен от конца $\vec{b}$ к концу $\vec{a}$ при общем начале.

¶Правило параллелограмма

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены из одной точки и на них построен параллелограмм, то одна диагональ (исходящая из общего начала) соответствует сумме $\vec{a} + \vec{b}$, а вторая диагональ — разности $\vec{a} - \vec{b}$. Направление диагонали разности указывает от конца $\vec{b}$ к концу $\vec{a}$.

¶Связь с расстоянием между точками

Если заданы точки $A$ и $B$ с радиус-векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ относительно начала координат, то вектор $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$. Его модуль $|\vec{b} - \vec{a}|$ равен расстоянию между точками $A$ и $B$. Это делает вычитание векторов основным инструментом вычисления длин отрезков и расстояний в координатной геометрии.

¶Координатная форма

В прямоугольной декартовой системе координат векторы задаются своими компонентами. Если $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, то разность вычисляется покомпонентно:

$$\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x,\ a_y - b_y,\ a_z - b_z).$$

Модуль разности находится по формуле:

$$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2}.$$

Для плоского случая достаточно двух компонент. Покомпонентное вычитание удобно тем, что сводит геометрическую операцию к арифметическим действиям над числами.

¶Пример

Пусть $\vec{a} = (5, 3)$ и $\vec{b} = (2, 1)$. Тогда:

• $\vec{a} - \vec{b} = (5 - 2,\ 3 - 1) = (3, 2)$;
• $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$.

¶Применение

¶Физика и механика

Разность векторов лежит в основе понятия относительного движения. Если тело имеет скорость $\vec{v}_1$, а другое — $\vec{v}_2$, то скорость первого тела относительно второго равна $\vec{v}_1 - \vec{v}_2$. Аналогично вычисляются относительные ускорения и перемещения. В динамике разность векторов используется при нахождении изменения величины за промежуток времени: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ определяет ускорение.

¶Геометрия и аналитическая геометрия

Через разность векторов выражаются направляющие векторы прямых, нормали плоскостей, расстояния между точками и прямыми. Например, вектор $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ задаёт направление стороны многоугольника, что применяется при вычислении площадей и доказательстве теорем.

¶Программирование и компьютерная графика

В компьютерной графике, физических движках и системах компьютерного зрения разность векторов применяется для определения направления от одного объекта к другому, расчёта нормалей поверхностей и векторов отражения. Операция реализована во всех библиотеках линейной алгебры.

¶Связанные понятия

Вычитание тесно связано со скалярным и векторным произведениями. Так, скалярное произведение разности на саму себя даёт квадрат модуля: $(\vec{a} - \vec{b})^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$. Это тождество используется при выводе теоремы косинусов и формулы расстояния. Векторное произведение разности применяется для вычисления площадей и моментов сил.

Отдельно рассматривается вычитание в комплексных числах и кватернионах, где оно также выполняется покомпонентно, что роднит эти алгебраические структуры с векторными пространствами.

¶Источники

• Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра.
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.
• Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.