Вычитание векторов в математике¶

Вычитание векторов — это алгебраическая операция над двумя векторами одной природы, результатом которой является вектор, называемый разностью. Операция определяется как сложение уменьшаемого вектора с вектором, противоположным вычитаемому: a − b = a + (−b). Вычитание применимо к векторам в евклидовом пространстве любой размерности, к геометрическим направленным отрезкам, а также к элементам произвольного векторного пространства над полем. Наряду со сложением оно относится к базовым линейным операциям и лежит в основе аналитической геометрии, физики и вычислительной математики.

¶Определение и связь со сложением

Пусть даны векторы a и b. Противоположным к b называется вектор −b, имеющий ту же длину, но противоположное направление; в координатной форме его компоненты равны компонентам b со знаком минус. Тогда разностью называется вектор

c = a − b = a + (−b).

Из определения непосредственно следуют свойства:

• c + b = a — проверка вычитания сложением;
• вычитание некоммутативно: a − b ≠ b − a, вообще говоря, а a − b = −(b − a);
• a − a = 0, где 0 — нулевой вектор;
• вычитание ассоциативно относительно прибавления вектора: (a − b) − c = a − (b + c).

¶Геометрическая интерпретация

¶Правило треугольника

Чтобы построить разность a − b, векторы приводят к общему началу. Тогда вектор, проведённый из конца b в конец a, и есть искомая разность. Это прямое следствие правила треугольника для сложения: если a = b + c, то c = a − b.

¶Правило параллелограмма

Если векторы a и b отложены от одной точки и на них построен параллелограмм, то одна диагональ (из общего начала) равна сумме a + b, а вторая (соединяющая концы векторов) — разности a − b. Направление второй диагонали зависит от того, какой вектор вычитается.

¶Длина разности

Модуль разности вычисляется по теореме косинусов:

|a − b|² = |a|² + |b|² − 2|a||b|cos φ,

где φ — угол между векторами. Если векторы перпендикулярны, |a − b|² = |a|² + |b|². Разность двух равных по модулю векторов перпендикулярна их сумме.

¶Координатная форма

В прямоугольной декартовой системе координат вычитание выполняется покомпонентно. Если a = (a₁, a₂, a₃) и b = (b₁, b₂, b₃), то

a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃).

В двумерном случае аналогично: a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂). Операция линейна: разность координат не зависит от выбора точки приложения векторов при параллельном переносе. В аффинных координатах с базисом e₁, e₂, e₃ результат записывается как (a₁ − b₁)e₁ + (a₂ − b₂)e₂ + (a₃ − b₃)e₃.

¶Свойства операции

Вычитание векторов обладает следующими алгебраическими свойствами:

1. Существование и единственность: для любых a и b разность существует и единственна.
2. Связь с нулём: a − 0 = a.
3. Дистрибутивность относительно скаляра: λ(a − b) = λa − λb для любого числа λ.
4. Совместимость со сложением: (a + b) − c = a + (b − c).
5. Вычитание эквивалентно прибавлению противоположного, что позволяет сводить любые линейные выражения к операциям сложения.

В векторном пространстве над полем вычитание не является самостоятельной аксиомой: оно определяется через существование противоположного элемента, гарантируемое аксиомами группы по сложению.

¶Применение

¶Физика

Разность векторов описывает изменение величины: приращение скорости Δv = v₂ − v₁, изменение импульса, относительную скорость двух тел (vотн = v₁ − v₂). В механике относительное перемещение точки также выражается через разность радиус-векторов.

¶Аналитическая геометрия

Вектор, соединяющий две точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), равен AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁) и представляет собой разность радиус-векторов этих точек. Это ключевой приём при вычислении расстояний, уравнений прямых и плоскостей.

¶Вычислительная математика и программирование

В компьютерной графике, машинном обучении и физических движках вычитание векторов реализуется покомпонентно и используется для расчёта направлений, нормалей, градиентов и расстояний между объектами. Векторные библиотеки предоставляют функцию вычитания как базовую операцию.

¶Смежные понятия

Вычитание тесно связано с понятием расстояния между векторами: |a − b| задаёт метрику в нормированном пространстве. В гильбертовом пространстве разность лежит в основе определения ортогональности и проекций. В линейной алгебре операция применяется при решении систем линейных уравнений методом Гаусса, где строки вычитаются одна из другой.

¶Источники

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Линейная алгебра».
• Кострикин А. И. «Введение в алгебру».
• Беклемишев Д. В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры».
• Александров П. С. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры».