Открыть сервисСервис
Главная → Блог → Результирующий вектор

Результирующий вектор

Результирующий вектор — вектор, получаемый в результате сложения (композиции) двух или более векторов по правилу параллелограмма или треугольника. Векторная алгебра рассматривает его как итог векторной суммы: если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — исходные векторы, то результирующий $\vec{r} = \vec{a} + \vec{b}$. Понятие применяется в физике, механике, компьютерной графике и линейной алгебре.

Определение и свойства

Результирующий вектор определяется как векторная сумма слагаемых векторов. Для двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, имеющих общую точку начала, его модуль вычисляется по формуле:

$$|\vec{r}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha}$$

где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Направление результирующего определяется углом $\beta$ между ним и вектором $\vec{a}$:

$$\beta = \arctan\frac{|\vec{b}|\sin\alpha}{|\vec{a}| + |\vec{b}|\cos\alpha}$$

Основные свойства:

Результирующий вектор всегда меньше или равен сумме модулей слагаемых: $|\vec{r}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$, причём равенство достигается только когда векторы коллинеарны и сонаправлены.

Способы сложения

Геометрический способ

Правило параллелограмма: из общей точки начала двух векторов строятся стороны параллелограмма, а результирующий — диагональ, выходящая из этой точки. Правило треугольника: конец первого вектора совмещается с началом второго, результирующий соединяет начало первого с концом второго.

Алгебраический способ

В декартовой системе координат векторы задаются компонентами: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$. Тогда:

$$\vec{r} = (a_x + b_x,\; a_y + b_y,\; a_z + b_z)$$

Компоненты результирующего равны сумме соответствующих компонент слагаемых. Этот метод обобщается на произвольное число векторов и произвольное число измерений.

Применение в физике

В классической механике результирующий вектор играет центральную роль при определении равнодействующей сил. Если на тело действует несколько сил $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$, равнодействующая:

$$\vec{F}_{\text{рез}} = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i$$

Если $\vec{F}_{\text{рез}} = \vec{0}$, тело находится в равновесии. Аналогично складываются векторы скоростей (правило сложения скоростей), моменты сил, импульсы.

В оптике результирующим является амплитудный вектор (вектор Френеля), характеризующий суммарное воздействие волн в данной точке. В электродинамике результирующее электрическое поле определяется векторной суммой полей от всех источников (принцип суперпозиции).

Применение в компьютерной графике

В трёхмерной графике результирующий вектор вычисляется при трансформациях моделей: сложение векторов позиций, вычисление нормалей, определение освещённости. При вычислении освещённости поверхности результирующий вектор отражённого света получается как векторная сумма диффузной и зеркальной компонент по модели Блинна — Фонга или Кука — Торранса.

Примеры

Пример 1. Два вектора длиной 3 и 4 единицы образуют угол 90°. Результирующий: $|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Пример 2. Корабль движется со скоростью 10 км/ч по течению реки, скорость течения 6 км/ч. Результирующая скорость — 16 км/ч вдоль течения.

Пример 3. В декартовой системе $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (4, -1, 2)$. Тогда $\vec{r} = (5, 1, 5)$, $|\vec{r}| = \sqrt{51} \approx 7{,}14$.

История

Векторный анализ как самостоятельная математическая дисциплина оформился в конце XIX века благодаря работам Дж. Гиббса и О. Гейвисайда. В русской математической традиции векторные методы развивались в трудах А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова. Понятие результирующего вектора как векторной суммы вошло в школьный курс физики и математики в начале XX века.

Источники

  • Иродов И. Е. Задачи по общей физике.
  • Кочин Н. Н., Кизнер И. Ф. Курс векторного исчисления.
  • Гиббс Дж. Векторный анализ.
  • Феодосьев В. И. Сопротивление материалов.

Похожие материалы

Заметили ошибку или не согласны с информацией в статье? Напишите нам support@bfometr.ru