Шестигранник — геометрическое тело¶

Шестигранник — многогранник, ограниченный шестью гранями. Термин относится к области стереометрии и применяется к разнообразным геометрическим телам, отличающимся формой, симметрией и свойствами. В обиходе словом «шестигранник» часто называют также шестигранный ключ (шестигранная отвёртка), хотя это инструмент, а не геометрическое тело.

¶Основные типы

По форме граней и симметрии шестигранники делятся на несколько основных групп.

¶Правильный шестигранник

Правильным шестигранником называют тело, все грани которого — равные правильные многоугольники, а все двугранные углы равны. В трёхмерном евклидовом пространстве единственным правильным шестигранником является куб (правильный гексаэдр): он ограничен шестью равными квадратами, имеет 8 вершин и 12 рёбер. Куб — одно из пяти платоновых тел и обладает высокой симметрией (группа симметрии порядка 48).

¶Правильный выпуклый шестигранник

К этой группе относят также правильный шестигранный тетраэдр (октаэдр не является шестигранником — у него 8 граней). Среди выпуклых многогранников с шестью гранями выделяют:

• Тригональную призму — три параллельных прямоугольных боковых грани и два треугольных основания. Объём при основании площади S и высоте h: V = S·h.
• Квадратную пирамиду — четыре треугольные боковые грани и одно квадратное основание. Пирамида с квадратным основанием и равными боковыми рёбрами обладает симметрией группы порядка 8.
• Пятиугольную пирамиду — пять треугольных граней и одно пятиугольное основание.

¶Невыпуклые шестигранники

Существует множество невыпуклых многогранников с шестью гранями, в том числе соединённые тела и тела с вогнутыми гранями. Их классификация значительно шире выпуклых случаев.

¶Свойства

Для выпуклых шестигранников выполняется соотношение Эйлера: V − E + F = 2, где V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. При F = 6 сумма V − E = −4. Для куба: 8 − 12 + 6 = 2. Для треугольной призмы: 6 − 9 + 6 = 3 (не выполняется — проверка: 6 − 9 + 6 = 3 ≠ 2, ошибка в подсчёте: у призмы 6 вершин, 9 рёбер, 5 граней, даёт 6 − 9 + 5 = 2). У пятиугольной пирамиды: 6 вершин, 10 рёбер, 6 граней, даёт 6 − 10 + 6 = 2.

¶Шестигранник в природе и технике

¶Кристаллография

В кристаллографии шестигранная симметрия встречается у гексагональной кристаллической системы. Минералы, принадлежащие к этой системе, образуют призмы и пирамиды с шестью гранями. Примеры — берилл, апатит, графит. Гексагональная решётка характерна для льда Ih (обычного ледяного кристалла), что определяет шестигранную форму снежинок.

¶Геология

Базальтовые лавовые потоки при остывании образуют колонковую отдельность — призматические столбы, чаще всего шестиугольные в сечении. Известные примеры — Гигантская дорога в Северной Ирландии, плато Дэйшань в Китае, ущелье Студеный каньон в Армении. Шестигранная форма столбов объясняется усадкой лавы и снятием напряжений по гексагональной сетке трещин.

¶Механика и инструмент

Шестигранник (hex key, шестигранный ключ, «шестигранная отвёртка») — инструмент в виде стержня с шестигранным сечением, применяемый для завинчивания винтов с внутренним шестигранным гнездом (шестигранником). Шестигранное гнездо (шестигранная головка) крепежа обеспечивает передачу большего крутящего момента по сравнению с крестовым шлицем при малых габаритах.

¶Применение в математике

Шестигранники используются как модели при изучении стереометрии, вычислении объёмов и площадей поверхностей. Куб (правильный шестигранник) служит базовой единицей измерения объёма в системе СИ (кубический метр). В комбинаторике и теории графов шестигранники изучаются как примеры планарных графов.

¶Интересные факты

• Куб как правильный шестигранник — единственное платоново тело с шестью гранями.
• Среди всех выпуклых многогранников с фиксированным числом граней шестигранники занимают промежуточное положение между пятигранниками и семигранниками.
• В кубике Рубика каждая из шести граней окрашена в свой цвет, что делает куб наглядной иллюстрацией шестигранника.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
• Александров А. Д. Лекции по аналитической геометрии
• Гладков Л. А. Кристаллография
• ГОСТ 28246-89. Свёрла с шестигранным хвостовиком