Шестигранник: геометрия, виды и применение¶

Шестигранник — многогранник, у которого все шесть граней являются правильными шестиугольниками; в частности, правильный шестигранный призма имеет два шестиугольных основания и четыре прямоугольные боковые грани. В бытовом и техническом языке под шестигранником чаще всего понимают шестигранную призму (гексагональную призму) или шестигранную пирамиду, а также шестигранное тело вращения — шестигранную призму с шестиугольным основанием. Внешний вид шестигранника определяется формой граней, числом вершин и рёбер, а также соотношением высоты к размеру основания.

¶Геометрические формы

¶Правильная шестигранная призма

Правильная шестигранная призма состоит из двух параллельных правильных шестиугольников и четырёх прямоугольных граней, соединяющих их соответствующие стороны. Такой шестигранник имеет 12 вершин, 18 рёбер и 6 граней. Если высота призмы равна стороне основания, тело выглядит компактным; при увеличении высоты оно вытягивается в столбчатую форму. Площадь поверхности правильной шестигранной призмы со стороной основания $a$ и высотой $h$ вычисляется по формуле $S = 3\sqrt{3}a^2 + 6ah$.

¶Шестигранная пирамида

Шестигранная пирамида имеет шестиугольное основание и шесть треугольных боковых граней, сходящихся в одной вершине. У неё 7 вершин и 12 рёбер. Правильная шестигранная пирамида выглядит как «зонтик» с шестью рёбрами, расходящимися от вершины к вершинам основания. Площадь поверхности определяется суммой площади основания и шести треугольных граней.

¶Шестигранный стержень и гайка

В технике шестигранником называют шестигранный стержень (hexagonal bar) — пруток с шестиугольным сечением, а также шестигранную гайку и головку болта. Гайка-шестигранник имеет форму правильной шестигранной призмы с центральным отверстием под резьбу. Такая форма обеспечивает удобный захват ключом и передачу крутящего момента. Стандартные размеры шестигранников определяются ГОСТ и ISO: например, размеры гаек по ГОСТ 5915-70 (шестигранник 8, 10, 12, 14, 17, 19, 22, 24, 27, 30, 32, 36 мм и др.).

¶Как выглядит шестигранник: визуальные признаки

Внешний вид шестигранника характеризуется следующими признаками:

• Шесть граней — основной отличительный признак, по которому тело и получило название.
• Шестиугольное основание — при взгляде сверху шестигранная призма или пирамида выглядит как правильный шестиугольник.
• Симметрия — правильный шестигранник обладает шестикратной осевой симметрией и зеркальной симметрией относительно нескольких плоскостей.
• Рёбра — призма имеет 18 рёбер (6 верхних, 6 нижних и 6 боковых), пирамида — 12 (6 в основании и 6 боковых).
• Вершины — призма имеет 12 вершин, пирамида — 7.

При взгляде сбоку шестигранная призма выглядит как прямоугольник с двумя диагоналями, если смотреть на грань, или как трапеция, если смотреть на рёбра. При взгляде под углом шестигранник выглядит как шестиугольник с внутренними линиями, образующими «кристаллическую» структуру.

¶Связь с другими многогранниками

Шестигранная призма тесно связана с кубом: если растянуть куб в одном направлении, получится шестигранная призма. Куб, в свою очередь, можно рассматривать как частный случай шестигранника, если считать его шесть квадратных граней. Шестигранная призма также является частным случаем призмы с n=6 и входит в бесконечный ряд призм с правильными основаниями.

¶Применение

Шестигранная форма широко используется в промышленности и строительстве:

• Крепёжные элементы — гайки, болты, винты со шестигранной головкой.
• Инструменты — шестигранные ключи (шестигранники, шестигранная отвёртка), шестигранная головка для гаечного ключа.
• Строительство — шестигранные колонны, шестигранные плиты, шестигранные бетонные блоки.
• Химия и физика — шестигранная решётка в кристаллах (например, графит, гексагональная кристаллическая решётка).
• Дизайн — шестигранные панели, шестигранные зеркала, шестигранные узоры (соты).

¶Интересные факты

• Шестигранная призма — один из немногих многогранников, который можно упаковать в пространство без зазоров (тесселляция).
• Шестиугольная структура (соты) является одной из самых эффективных по расходу материала при заданной прочности.
• Шестигранник — основа для гексагональной системы кристаллографии, одной из семи кристаллических систем.

¶Источники

• ГОСТ 5915-70. Гайки шестигранники. Технические условия.
• Ильин В. А., Кострикин А. А. «Алгебра и начала анализа». — М.: Просвещение.
• Кочетков Ю. А. «Геометрия». — М.: Просвещение.
• ISO 4032. Hexagon thin nuts (style 1).