Символ Похгаммера

Символ Похгаммера — это математическое обозначение, используемое для представления растущих и убывающих факториалов, а также обобщённых гипергеометрических рядов. Введён немецким математиком Леопольдом Кронекером, но популяризирован и назван в честь другого немецкого математика — Лео Августа Похгаммера. Символ представляет собой пару круглых скобок с нижним индексом, например, \((x)_n\). В зависимости от контекста, \((x)_n\) может обозначать либо растущий факториал (иногда называемый символом Похгаммера в узком смысле), либо убывающий факториал. В современной комбинаторике и теории специальных функций сложились две основные конвенции, различающиеся трактовкой этого символа.

Определение

В наиболее распространённой в комбинаторике и теории гипергеометрических функций конвенции (часто называемой «конвенцией Абрамовица и Стегуна») символ Похгаммера для растущего факториала определяется как:

\[ (x)_n = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}, \]

где \(n\) — неотрицательное целое число, а \(\Gamma\) — гамма-функция. При \(n=0\) по определению \((x)_0 = 1\). Эта конвенция широко используется в теории гипергеометрических функций, в частности, в определении обобщённой гипергеометрической функции \({}_pF_q\).

В альтернативной конвенции, принятой в некоторых работах по комбинаторике (например, в книгах Р. Грэхема, Д. Кнута и О. Паташника «Конкретная математика»), символ Похгаммера используется для обозначения убывающего факториала:

\[ (x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}. \]

Для устранения неоднозначности часто вводят дополнительные обозначения: растущий факториал записывают как \(x^{\overline{n}}\) (читается «\(x\) растущий к \(n\)»), а убывающий — как \(x^{\underline{n}}\) (читается «\(x\) убывающий к \(n\)»). В данной статье, если не указано иное, используется первая конвенция (растущий факториал).

История

Символ в виде скобок с индексом для обозначения факториальных произведений впервые применил Леопольд Кронекер в 1860-х годах. Однако широкое распространение в математической литературе он получил после работ Лео Августа Похгаммера (1841—1920), который использовал его в своих исследованиях по теории гипергеометрических рядов. Похгаммер ввёл обозначение \((x)_n\) для растущего факториала в статье «Ueber die hypergeometrische Reihe» (1870). Несмотря на то, что сам Похгаммер не претендовал на авторство символа, его имя закрепилось за этим обозначением благодаря авторитету его работ.

В XX веке символ Похгаммера стал стандартным инструментом в работах по гипергеометрическим функциям, комбинаторике, теории вероятностей и математической физике. В 1964 году справочник М. Абрамовица и И. Стегуна «Handbook of Mathematical Functions» закрепил конвенцию, в которой \((x)_n\) означает растущий факториал, что и стало доминирующим в англоязычной литературе.

Свойства

Символ Похгаммера обладает рядом важных алгебраических и аналитических свойств, связывающих его с гамма-функцией, биномиальными коэффициентами и другими специальными функциями.

Связь с гамма-функцией

Основное соотношение, справедливое для всех комплексных \(x\) (кроме полюсов гамма-функции):

\[ (x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}. \]

Это позволяет обобщить определение на нецелые и комплексные значения \(n\) (через гамма-функцию), хотя в классическом понимании \(n\) — целое неотрицательное число.

Связь с биномиальными коэффициентами

Растущий и убывающий факториалы выражаются через биномиальные коэффициенты:

\[ \frac{(x)_n}{n!} = \binom{x+n-1}{n}, \quad \frac{x^{\underline{n}}}{n!} = \binom{x}{n}. \]

Здесь \(\binom{x}{n}\) — обобщённый биномиальный коэффициент, определённый для произвольного комплексного \(x\).

Рекуррентные соотношения

Символ Похгаммера удовлетворяет простым рекуррентным формулам:

\[ (x)_{n+1} = (x)_n \cdot (x+n), \quad (x)_{n-1} = \frac{(x)_n}{x+n-1}. \]

Формулы преобразования

Существует несколько полезных тождеств, связывающих символы с разными аргументами:

\[ (x)_n = (-1)^n (1-x-n)_n, \quad (x)_n = \frac{(1)_n}{(1-x)_n} \cdot \frac{\Gamma(1-x)}{\Gamma(1-x-n)}. \]

Часто используется соотношение:

\[ (x)_{n+k} = (x)_n \cdot (x+n)_k. \]

Частные случаи

Для некоторых значений \(x\) и \(n\) символ Похгаммера принимает простой вид:

• \((1)_n = n!\) — факториал числа \(n\).
• \((2)_n = (n+1)!\).
• \(\left(\frac{1}{2}\right)_n = \frac{(2n)!}{2^{2n} n!}\) — часто встречается в формулах для гамма-функции полуцелого аргумента.
• \((0)_n = 0\) при \(n \ge 1\).
• \((-m)_n = 0\) при целых \(m\) и \(n > m\) — свойство, используемое для завершения гипергеометрических рядов.

Применение

Гипергеометрические функции

Символ Похгаммера является основным строительным блоком для определения обобщённой гипергеометрической функции:

\[ {}_pF_q\left(a_1,\dots,a_p; b_1,\dots,b_q; z\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n \cdots (a_p)_n}{(b_1)_n \cdots (b_q)_n} \frac{z^n}{n!}. \]

Здесь \((a_i)_n\) и \((b_i)_n\) — символы Похгаммера. Многие элементарные и специальные функции (экспонента, синус, косинус, функции Бесселя, гамма-функция) являются частными случаями гипергеометрических рядов.

Комбинаторика

В комбинаторике убывающий факториал \(x^{\underline{n}}\) используется для подсчёта числа размещений (упорядоченных выборок) из \(x\) элементов по \(n\). Растущий факториал \(x^{\overline{n}}\) применяется в формулах для числа сочетаний с повторениями. Символ Похгаммера также входит в формулы для чисел Стирлинга первого и второго рода:

\[ x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] x^k, \quad x^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \left[{n \atop k}\right] x^k, \]

где \(\left[{n \atop k}\right]\) — числа Стирлинга первого рода (без знака).

Теория вероятностей

Символ Похгаммера встречается в выражениях для моментов некоторых распределений, например, в отрицательном биномиальном распределении и распределении Паскаля. В частности, факториальные моменты случайной величины выражаются через убывающие факториалы.

Квантовая физика

В квантовой механике и квантовой теории поля символ Похгаммера используется при разложении волновых функций в ряды, а также в формулах для квантовых осцилляторов и когерентных состояний. В квантовой оптике он появляется в контексте фоковских состояний и операторов рождения/уничтожения.

Обобщения

Символ Похгаммера может быть обобщён на случай нескольких переменных (например, для многомерных гипергеометрических функций), а также на квантовые группы, где вводится \(q\)-аналог — \(q\)-символ Похгаммера:

\[ (x; q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1 - x q^k), \]

используемый в теории \(q\)-гипергеометрических рядов и квантовых вычислениях.

Критика и неоднозначность

Основная проблема, связанная с символом Похгаммера, — это двойственность его трактовки. В разных учебниках и научных статьях один и тот же символ \((x)_n\) может означать как растущий, так и убывающий факториал. Это приводит к путанице, особенно при чтении работ разных авторов. Для её устранения рекомендуется явно указывать используемую конвенцию в начале текста или использовать альтернативные обозначения \(x^{\overline{n}}\) и \(x^{\underline{n}}\), предложенные Д. Кнутом. В русскоязычной математической литературе чаще используется конвенция, в которой \((x)_n\) — растущий факториал, что соответствует традиции, заложенной справочником «Высшие трансцендентные функции» (Бейтмен, Эрдейи).

Источники

• Абрамовиц М., Стегун И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965.
• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998.
• Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983.
• Похгаммер Л. Ueber die hypergeometrische Reihe // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1870. — Т. 71. — С. 1–36.