Тела Кеплера — Пуансо¶

Тела Кеплера — Пуансо — это класс правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников, гранями которых являются правильные звёздчатые многоугольники (пентаграммы, октаграммы, декаграммы) и которые обладают симметрией правильных выпуклых многогранников. Всего существует четыре таких тела: малый звёздчатый додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. Вместе с пятью выпуклыми правильными многогранниками (платоновыми телами) они составляют полный набор из девяти правильных многогранников, известных как многогранники Кеплера — Пуансо.

¶История

Впервые невыпуклые правильные многогранники были описаны в 1619 году немецким астрономом и математиком Иоганном Кеплером в его трактате «Гармония мира» (Harmonices Mundi). Кеплер обнаружил два звёздчатых многогранника, которые он назвал малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр. Он рассматривал их как «правильные твёрдые тела» и связывал с астрономическими моделями.

Спустя почти два столетия, в 1809 году, французский математик Луи Пуансо открыл ещё два правильных звёздчатых многогранника: большой додекаэдр и большой икосаэдр. В 1812 году Огюстен Луи Коши доказал, что эти четыре тела являются единственными правильными невыпуклыми многогранниками, если под правильностью понимать транзитивность группы симметрии на вершинах, рёбрах и гранях. В 1813 году Артур Кэли предложил для них современные названия, а сам класс многогранников получил общее название «тела Кеплера — Пуансо».

¶Определение и свойства

Тела Кеплера — Пуансо являются правильными многогранниками в том смысле, что они удовлетворяют следующим условиям:

• Все грани являются конгруэнтными правильными звёздчатыми многоугольниками.
• В каждой вершине сходится одинаковое количество граней.
• Группа симметрии многогранника транзитивна на вершинах, рёбрах и гранях.

В отличие от платоновых тел, грани тел Кеплера — Пуансо самопересекаются, а сами многогранники имеют звёздчатую форму. Их эйлерова характеристика равна 2, как и у выпуклых многогранников, но при вычислении числа вершин, рёбер и граней учитываются пересечения.

¶Классификация

Все четыре тела Кеплера — Пуансо делятся на две пары, двойственные друг другу:

¶Описание тел

¶Малый звёздчатый додекаэдр

Малый звёздчатый додекаэдр (обозначение Кеплера — U34) состоит из 12 пентаграмматических граней, каждая из которых образована продолжением сторон правильного пятиугольника. В каждой вершине сходится 5 граней. Его можно представить как додекаэдр, на каждую грань которого «насажена» пятиугольная пирамида.

¶Большой звёздчатый додекаэдр

Большой звёздчатый додекаэдр (U35) также имеет 12 пентаграмматических граней, но его вершины расположены на большем расстоянии от центра. В каждой вершине сходится 5 граней. Он является двойственным большому икосаэдру.

¶Большой додекаэдр

Большой додекаэдр (U36) состоит из 12 правильных пятиугольных граней, которые пересекаются друг с другом. В каждой вершине сходится 5 граней. Он является двойственным малому звёздчатому додекаэдру.

¶Большой икосаэдр

Большой икосаэдр (U37) состоит из 20 правильных треугольных граней, образующих звёздчатую структуру. В каждой вершине сходится 5 граней. Он является двойственным большому звёздчатому додекаэдру.

¶Симметрия и геометрия

Все тела Кеплера — Пуансо обладают икосаэдрической симметрией (группа Ih), той же, что и у додекаэдра и икосаэдра. Их вершины совпадают с вершинами выпуклых правильных многогранников: малый и большой звёздчатые додекаэдры — с вершинами додекаэдра, большой додекаэдр — с вершинами икосаэдра, большой икосаэдр — с вершинами додекаэдра.

¶Звёздчатые формы

Тела Кеплера — Пуансо являются звёздчатыми формами выпуклых правильных многогранников. Процесс звёздчатости заключается в продолжении граней или рёбер исходного многогранника до их пересечения. Например, малый звёздчатый додекаэдр получается звёздчатостью додекаэдра, а большой икосаэдр — звёздчатостью икосаэдра.

¶Применение и значение

Тела Кеплера — Пуансо имеют значение в нескольких областях:

¶Математика

В геометрии они служат классическими примерами правильных невыпуклых многогранников и используются для изучения свойств симметрии, эйлеровых характеристик и теории многогранников. Они также связаны с понятием звёздчатых многогранников и операцией звёздчатости.

¶Искусство и архитектура

Звёздчатые многогранники часто используются в декоративном искусстве, особенно в исламской геометрии и готической архитектуре. Изображения тел Кеплера — Пуансо встречаются в работах художников эпохи Возрождения, таких как Леонардо да Винчи, иллюстрировавшего книгу Луки Пачоли «О божественной пропорции».

¶Кристаллография

В кристаллографии формы, напоминающие тела Кеплера — Пуансо, встречаются у некоторых кристаллов, например, у пирита (FeS₂), который может образовывать пентагон-додекаэдрические кристаллы. Однако настоящие звёздчатые формы в природе редки из-за ограничений симметрии кристаллических решёток.

¶Моделирование и образование

В современной математике и компьютерной графике тела Кеплера — Пуансо используются для демонстрации сложных геометрических концепций. Они также популярны в качестве головоломок и моделей для 3D-печати.

¶Интересные факты

• Тела Кеплера — Пуансо являются единственными правильными невыпуклыми многогранниками, что было доказано Коши в 1812 году.
• Малый звёздчатый додекаэдр часто изображают в эзотерической символике, связывая с магией и оккультизмом, хотя научного обоснования этому нет.
• В 1970-х годах американский математик Бранко Грюнбаум обобщил понятие правильных многогранников, включив в него и тела Кеплера — Пуансо, что привело к созданию теории абстрактных правильных многогранников.
• Большой икосаэдр является двойственным большому звёздчатому додекаэдру, что демонстрирует принцип двойственности в геометрии многогранников.

¶Критика и альтернативные взгляды

Некоторые математики XIX века, в частности, Артур Кэли, первоначально сомневались в том, что тела Кеплера — Пуансо следует считать «правильными» из-за их самопересечений. Однако современная геометрия признаёт их полноценными правильными многогранниками, поскольку они удовлетворяют всем аксиоматическим требованиям правильности, включая транзитивность группы симметрии. Вопрос о том, можно ли считать звёздчатые многоугольники «правильными гранями», остаётся предметом обсуждения в контексте определения многогранника.