Платоновы тела и их свойства¶

Платоновы тела — собирательное название пяти правильных выпуклых многогранников: тетраэдра, куба (гексаэдра), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Это трёхмерные геометрические фигуры, все грани которых являются равными правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Названы в честь древнегреческого философа Платона, который в диалоге «Тимей» связал их с первоэлементами мироздания.

¶Определение и основные свойства

Платоновы тела характеризуются высокой степенью симметрии. Формально они являются выпуклыми многогранниками, обладающими следующими свойствами:

• все грани — конгруэнтные правильные многоугольники;
• все многогранные углы при вершинах равны;
• в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.

Из этих условий следует, что существует ровно пять таких фигур. Доказательство основано на формуле Эйлера для выпуклых многогранников: \(V - E + F = 2\), где \(V\) — число вершин, \(E\) — число рёбер, \(F\) — число граней. Комбинируя это равенство с соотношениями, связывающими число сторон грани и число рёбер при вершине, получают конечный набор решений — пять возможных комбинаций.

¶Перечень и характеристики

Символ Шлефли {p, q} обозначает, что каждая грань — правильный p-угольник, и в каждой вершине сходится q рёбер.

¶Двойственность

Платоновы тела образуют три пары двойственных многогранников. Если соединить центры граней многогранника, получится двойственный ему многогранник:

• куб и октаэдр двойственны друг другу;
• додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу;
• тетраэдр двойственен сам себе.

При двойственности число вершин и граней меняются местами, а символ Шлефли {p, q} преобразуется в {q, p}.

¶История изучения

Геометрические свойства правильных многогранников были известны ещё в Древней Греции. Феэтет Афинский математически описал все пять тел, а Евклид посвятил им заключительную книгу «Начал». Платон в диалоге «Тимей» сопоставил тетраэдр с огнём, куб — с землёй, октаэдр — с воздухом, икосаэдр — с водой, а додекаэдр — с космосом или эфиром. Отсюда происходит название «платоновы тела».

Иоганн Кеплер в XVI веке использовал платоновы тела для построения модели Солнечной системы, вписав их в орбиты планет. Позднее эта модель была опровергнута, но способствовала развитию астрономии.

¶Применение

¶Математика и естественные науки

Платоновы тела встречаются в кристаллографии: кубическая, тетраэдрическая и октаэдрическая сингонии описывают формы кристаллов. Икосаэдрическая симметрия характерна для вирусов, например аденовирусов, и некоторых кластерных соединений.

¶Игры и дизайн

Правильные многогранники используются для изготовления игральных костей. Четырёх-, шести-, восьми-, двенадцати- и двадцатигранные кости применяются в настольных ролевых играх. Додекаэдр и икосаэдр также встречаются в архитектуре и скульптуре как декоративные элементы.

¶Другие области

В оптоволоконной технике и антеннах используются формы, основанные на икосаэдре, благодаря их близости к сфере. В химии известны кластеры бора, имеющие форму икосаэдра.

¶Интересные факты

• Платоновы тела являются трёхмерными аналогами правильных многоугольников, которых на плоскости существует бесконечно много.
• Среди всех многогранников с одинаковым числом граней именно платоновы тела имеют максимальный объём при заданном радиусе описанной сферы.
• Тетраэдр — единственное платоново тело, которое не имеет центральной симметрии.

¶См. также

• Архимедовы тела
• Многогранник
• Формула Эйлера

¶Источники

1. Энциклопедия элементарной математики, книга 4: Геометрия.
2. Коксетер Г. С. М. Введение в геометрию.
3. Веннинджер М. Модели многогранников.