Теорема Ферма о последней теореме¶
Теорема Ферма — утверждение элементарной теории чисел, сформулированное Пьером де Ферма около 1637 года: уравнение $a^n + b^n = c^n$ не имеет нетривиальных решений в целых числах при целом показателе $n > 2$. Теорема занимает особое место в истории математики: она была сформулирована на полях книги Диофанта «Арифметика», но строго доказана лишь через 358 лет — в 1995 году британским математиком Эндрю Уайлсом.
¶Формулировка и история
Пьер де Ферма в заметке на полях перевода «Арифметики» Диофанта, выполненного Клодом Гаспером Баше де Мезириаком, написал: «Куб числа нельзя представить в виде суммы двух кубов, четвёртая степень — в виде суммы двух четвёртых степеней, и вообще любую степень выше второй нельзя представить в виде суммы двух таких же степеней. Я нашёл бы удивительное доказательство, но это поле слишком узко для него». Формулировка эквивалентна утверждению, что уравнение $x^n + y^n = z^n$ при $n > 2$ не имеет решений в ненулевых целых числах. При $n = 2$ уравнение имеет бесконечно много решений — это тройки Пифагора.
Ферма доказал теорему для $n = 4$ с помощью метода бесконечного спуска, а для $n = 3$ — Леонард Эйлер (доказательство Эйлера содержит пробел, позднее восполненный). Для $n = 5$ теорему доказали Адриен-Мари Лежандр (1823) и Дирихле (1825), для $n = 7$ — Габриэль Ламе (1839). В XIX веке были доказаны частные случаи для ряда конкретных показателей.
¶Общие попытки доказательства
В 1847 году на заседании Парижской академии наук одновременно выступили Габриэль Ламе и Огюстен-Луи Коши. Ламе объявил полное доказательство, основанное на разложении многочлена $x^n + y^n$ на множители в кольце алгебраических чисел. Однако Дирхле указал, что в кольцах комплексных целых чисел не всегда выполняется основная теорема арифметики — единственность разложения на множители может нарушаться. Это направление получило развитие в алгебраической теории чисел: Эрнст Куммер построил теорию идеалов и ввёл понятие числа классов, доказав теорему Ферма для всех «регулярных» показателей — тех, для которых не делится числитель числа Бернулли. Куммер показал, что теорема верна для всех показателей до 100, кроме 37, 59 и 67.
¶Доказательство Уайлса
Основной результат был получен Эндрю Уайлсом и опубликован в 1995 году в двух статьях журнала Annals of Mathematics. Уайлс доказал модульную теорему (также известную как гипотеза Танима — Симоны), которая утверждает: каждая эллиптическая кривая над рациональными числами является модулярной. Из этого следует теорема Ферма по схеме Фрея — Серра, предложенной в 1986 году:
- Фрея показал, что из нетривиального решения $a^p + b^p = c^p$ (при простом $p \geq 5$) можно построить эллиптическую кривую, обладающую свойствами, несовместимыми с модульностью.
- Серр сформулировал «предположение ε», которое связывало модульность с несуществованием такой кривой.
- Кеннет Рибет доказал в 1986 году «теорему уровней», показав, что модульность эллиптической кривой Фрея действительно следует из модульности всех эллиптических кривых над $\mathbb{Q}$.
Таким образом, доказательство модульной теоремы автоматически давало доказательство теоремы Ферма. Уайлс работал над задачей скрытно около семи лет. Его первое сообщение о доказательстве (июнь 1993) вызвало широкий резонанс, но в ходе рецензирования обнаружился пробел в одном из ключевых шагов — теореме о заполнении. Уайлс совместно с Ричардом Тейлором восполнил пробел в 1994 году, и в 1995 году работа была опубликована.
¶Значение
Доказательство теоремы Ферма стало одним из крупнейших математических результатов XX века. В 2016 году Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию «за блестящее доказательство последней теоремы Ферма посредством модульной теоремы для полупростых эллиптических кривых, что стало кульминацией многовековых усилий математиков». Работа Уайлса и его последователей привела к развитию программы Ленглендса — крупнейшего направления современной математики, связывающего теорию чисел, алгебраическую геометрию и репрезентационную теорию.
¶Интересные факты
- Нерешённая на протяжении столетий теорема Ферма была включена в список 23 проблем Гильберта (1900) — она числилась под номером 8, но была снята с рассмотрения ещё в 1908 году в связи с условиями конкурса Вольфскеэля.
- В 1908 году немецкий математик-любитель Франц Франц Нюманн выиграл конкурс на доказательство теоремы Ферма, но его работа не была признана.
- За время между формулировкой и доказательством было предложено более сотни ошибочных «доказательств», ни одно из которых не выдержало проверки.
- Наибольший подтверждённый случай: теорема проверена перебором для всех показателей до 4 000 000 (проверки велись на компьютере, последняя крупная проверка — 2020-е годы).
Источники:
- Эндрю Уайлс. «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem», Annals of Mathematics, 1995.
- Саймон Сингх. «Последняя теорема Ферма», 1997.
- И. Р. Шафаревич, Р. О. Мазур. «Начала геометрии».
- Э. Куммер. «Обобщение теоремы Ферма», 1850.