Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии — одна из основных теорем механики, устанавливающая связь между работой равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке или механической системе, и изменением её кинетической энергии. В классической механике теорема формулируется для материальной точки, системы материальных точек и абсолютно твёрдого тела. Она является следствием второго закона Ньютона и широко применяется в физике, инженерных расчётах и теории машин и механизмов.

Формулировка

Для материальной точки теорема об изменении кинетической энергии гласит: изменение кинетической энергии точки за некоторый промежуток времени равно работе всех сил, действующих на точку за тот же промежуток. В дифференциальной форме: \(dT = \delta A\), где \(T\) — кинетическая энергия, \(\delta A\) — элементарная работа равнодействующей силы. В интегральной форме: \(T_2 - T_1 = A_{12}\), где \(T_1\) и \(T_2\) — кинетическая энергия в начальный и конечный моменты, \(A_{12}\) — работа всех сил на перемещении из начального положения в конечное.

Для механической системы теорема обобщается: изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему. Однако для систем с идеальными связями (например, для абсолютно твёрдого тела) работа внутренних сил равна нулю, и теорема принимает вид: \(T_2 - T_1 = A^{\text{внеш}}\), где \(A^{\text{внеш}}\) — работа только внешних сил.

История

Теорема об изменении кинетической энергии исторически связана с развитием понятий работы и энергии в механике. В XVII веке Готфрид Лейбниц ввёл понятие «живой силы» (лат. vis viva), пропорциональной массе и квадрату скорости, и высказал идею её сохранения при упругих столкновениях. В XVIII веке Даниил Бернулли и Жан Лерон д’Аламбер применяли принцип живых сил к задачам гидродинамики и механики. Окончательную формулировку теоремы в терминах работы и кинетической энергии дали в XIX веке Лазар Карно, Гюстав Кориолис и Уильям Ренкин. В современной форме теорема излагается в курсах теоретической механики и физики.

Математическая запись

Для материальной точки

Второй закон Ньютона: \(m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \mathbf{F}\), где \(m\) — масса, \(\mathbf{v}\) — скорость, \(\mathbf{F}\) — равнодействующая сила. Умножая скалярно обе части на \(d\mathbf{r} = \mathbf{v}\,dt\), получаем:

\[ m \mathbf{v} \cdot d\mathbf{v} = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. \]

Левая часть равна \(d\left(\frac{m v^2}{2}\right) = dT\). Правая часть — элементарная работа \(\delta A\). Интегрируя, получаем \(T_2 - T_1 = A_{12}\).

Для системы материальных точек

Для каждой точки \(i\) системы: \(dT_i = \delta A_i^{\text{внеш}} + \delta A_i^{\text{внутр}}\). Суммируя по всем точкам:

\[ dT = \delta A^{\text{внеш}} + \delta A^{\text{внутр}}, \]

где \(T = \sum_i T_i\) — кинетическая энергия системы. В интегральной форме: \(T_2 - T_1 = A^{\text{внеш}} + A^{\text{внутр}}\).

Для абсолютно твёрдого тела

Внутренние силы в твёрдом теле не совершают работы (так как расстояния между точками не меняются), поэтому \(A^{\text{внутр}} = 0\). Теорема принимает вид: \(T_2 - T_1 = A^{\text{внеш}}\). Кинетическая энергия твёрдого тела складывается из энергии поступательного движения центра масс и энергии вращательного движения вокруг центра масс: \(T = \frac{1}{2} m v_C^2 + \frac{1}{2} I_C \omega^2\), где \(m\) — масса, \(v_C\) — скорость центра масс, \(I_C\) — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, \(\omega\) — угловая скорость.

Частные случаи

Консервативные силы

Если все силы, действующие на систему, консервативны (потенциальны), то их работа равна убыли потенциальной энергии: \(A = U_1 - U_2\). Тогда теорема даёт:

\[ T_2 - T_1 = U_1 - U_2 \quad \Rightarrow \quad T_1 + U_1 = T_2 + U_2, \]

то есть закон сохранения механической энергии. В этом случае теорема об изменении кинетической энергии является следствием более общего закона.

Диссипативные силы

При наличии сил трения, сопротивления или других неконсервативных сил работа этих сил отрицательна, и кинетическая энергия системы уменьшается. Теорема позволяет вычислить потери энергии на преодоление сопротивления.

Ударные процессы

При абсолютно неупругом ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю (тепловую) энергию тел. Теорема об изменении кинетической энергии даёт величину потери энергии, равную работе внутренних диссипативных сил.

Применение

Теорема об изменении кинетической энергии широко используется в:

• Механике твёрдого тела — для расчёта движения тел под действием сил, особенно когда силы непостоянны или траектория сложна (например, движение по криволинейным направляющим).
• Теории машин и механизмов — для определения кинетической энергии маховиков, расчёта тормозных путей, оценки энергоэффективности механизмов.
• Физике — при решении задач на движение с трением, наклонные плоскости, пружины, маятники.
• Инженерных расчётах — в строительной механике, аэродинамике, баллистике, где требуется определить скорость тела после прохождения заданного пути под действием известных сил.

Пример

Рассмотрим тело массой \(m = 2\) кг, движущееся по горизонтальной поверхности с начальной скоростью \(v_1 = 10\) м/с. Под действием силы трения с коэффициентом \(\mu = 0,2\) тело останавливается. Найти тормозной путь.

Решение. Работа силы трения: \(A = - \mu m g s\), где \(s\) — путь. Изменение кинетической энергии: \(0 - \frac{m v_1^2}{2} = - \mu m g s\). Отсюда \(s = \frac{v_1^2}{2 \mu g} = \frac{100}{2 \cdot 0,2 \cdot 9,8} \approx 25,5\) м.

Ограничения

Теорема об изменении кинетической энергии применима только в рамках классической механики (скорости много меньше скорости света). В релятивистской механике кинетическая энергия определяется иначе, и теорема обобщается с учётом релятивистской массы. Для квантовых систем теорема в классической формулировке не применяется; там используются квантово-механические аналоги.

Источники

• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995.
• Яблонский А. А. Сборник заданий по теоретической механике. — М.: Интеграл-Пресс, 2001.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 1: Механика. — М.: Наука, 1988.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1: Механика. — М.: Наука, 1979.