Разрешимая группа

Разрешимая группа — это группа, обладающая свойством разрешимости, то есть группа, для которой существует конечная последовательность вложенных друг в друга подгрупп (нормальный ряд), начинающаяся с единичной подгруппы и заканчивающаяся самой группой, такая, что каждая фактор-группа соседних членов ряда является абелевой. Понятие разрешимости является одним из фундаментальных в теории групп, обобщая свойства групп, которые могут быть «собраны» из абелевых «кирпичиков». Разрешимые группы играют ключевую роль в теории Галуа, где разрешимость алгебраического уравнения в радикалах эквивалентна разрешимости его группы Галуа.

Определение и формализация

Формально, группа \(G\) называется разрешимой, если существует конечная цепочка подгрупп: \[ \{e\} = G_0 \triangleleft G_1 \triangleleft G_2 \triangleleft \dots \triangleleft G_n = G, \] где каждая подгруппа \(G_i\) является нормальной в \(G_{i+1}\) (обозначается \(\triangleleft\)), и каждая фактор-группа \(G_{i+1}/G_i\) является абелевой. Такая цепочка называется разрешимым рядом (или нормальным рядом с абелевыми факторами). Длина \(n\) ряда называется длиной разрешимости.

Эквивалентное определение использует понятие коммутанта. Коммутант группы \(G\) (обозначается \([G,G]\) или \(G'\)) — это подгруппа, порождённая всеми коммутаторами \([x,y] = x^{-1}y^{-1}xy\) для \(x,y \in G\). Коммутант является нормальной подгруппой, и фактор-группа \(G/G'\) абелева (это абелианизация группы). Определим последовательность коммутантов: \[ G^{(0)} = G,\quad G^{(1)} = [G,G],\quad G^{(2)} = [G^{(1)},G^{(1)}],\quad \dots,\quad G^{(k)} = [G^{(k-1)},G^{(k-1)}]. \] Группа \(G\) разрешима тогда и только тогда, когда для некоторого \(k\) выполняется \(G^{(k)} = \{e\}\). Наименьшее такое \(k\) называется ступенью разрешимости (или производной длиной). Например, если \(G^{(1)} = \{e\}\), то группа абелева (ступень 1). Если \(G^{(2)} = \{e\}\), но \(G^{(1)} \neq \{e\}\), то ступень 2, и так далее.

История

Понятие разрешимости возникло в XIX веке в связи с работами Эвариста Галуа по теории алгебраических уравнений. Галуа показал, что корни многочлена выражаются в радикалах (то есть уравнение разрешимо в радикалах) тогда и только тогда, когда его группа Галуа является разрешимой. Это дало критерий для неразрешимости общего уравнения пятой степени и выше в радикалах, доказанный ранее Нильсом Абелем. Впоследствии, в XX веке, теория разрешимых групп была обобщена и систематизирована в рамках общей теории групп, став важным инструментом в комбинаторной теории групп, теории представлений и топологии.

Примеры

Абелевы группы

Все абелевы группы являются разрешимыми ступени 1, так как их коммутант тривиален: \(G^{(1)} = \{e\}\).

Нильпотентные группы

Нильпотентные группы, включая конечные \(p\)-группы, являются разрешимыми. Например, группа кватернионов \(Q_8\) (порядка 8) нильпотентна и разрешима ступени 2.

Симметрические группы

• \(S_3\) (симметрическая группа степени 3) разрешима. Её коммутант \(S_3' = A_3\) (циклическая группа порядка 3), а \(A_3' = \{e\}\). Ступень разрешимости — 2.
• \(S_4\) (степени 4) также разрешима. Её коммутант \(S_4' = A_4\) (знакопеременная группа порядка 12), \(A_4' = V_4\) (четвёрная группа Клейна, абелева), \(V_4' = \{e\}\). Ступень — 3.
• \(S_5\) (степени 5) и все \(S_n\) для \(n \geq 5\) не являются разрешимыми. Это следует из того, что знакопеременная группа \(A_n\) для \(n \geq 5\) проста и неабелева, а её коммутант совпадает с ней самой.

Знакопеременные группы

• \(A_3\) (циклическая порядка 3) разрешима.
• \(A_4\) разрешима.
• \(A_5\) (порядка 60) проста и неабелева, поэтому неразрешима. Для \(n \geq 5\) все \(A_n\) неразрешимы.

Группы матриц

Группа верхнетреугольных матриц над полем с единицами на диагонали (унипотентная группа) разрешима. Например, группа \(UT_n(\mathbb{R})\) всех верхнетреугольных матриц с единицами на главной диагонали является нильпотентной, а значит, разрешимой.

Группа диэдра

Группа диэдра \(D_n\) (симметрий правильного \(n\)-угольника) разрешима для любого \(n\). Её коммутант — циклическая подгруппа поворотов, которая абелева.

Свойства

Замкнутость относительно операций

• Подгруппы: любая подгруппа разрешимой группы разрешима.
• Фактор-группы: любая фактор-группа разрешимой группы разрешима.
• Расширения: если \(N\) — нормальная подгруппа группы \(G\), и обе группы \(N\) и \(G/N\) разрешимы, то \(G\) также разрешима. Это свойство позволяет строить разрешимые группы из более простых.
• Прямые произведения: прямое произведение конечного числа разрешимых групп разрешимо.

Конечные разрешимые группы

Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда все её композиционные факторы являются циклическими группами простого порядка. Это эквивалентно тому, что группа обладает рядом с абелевыми факторами, где каждый фактор — простая абелева группа (то есть циклическая порядка \(p\)).

Теорема Фейта — Томпсона (1963) утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Это один из важнейших результатов теории групп XX века, доказательство которого занимает около 250 страниц.

Связь с нильпотентностью

Любая нильпотентная группа разрешима, но обратное неверно. Например, группа \(S_3\) разрешима, но не нильпотентна (её центр тривиален). Нильпотентные группы являются более узким классом, где центральный ряд сходится к единичной подгруппе.

Классификация и структура

Конечные разрешимые группы

Структура конечных разрешимых групп может быть описана через понятие силовских подгрупп и холловых подгрупп. Для разрешимой группы справедлива теорема Ф. Холла: если \(|G| = mn\) с \(\gcd(m,n)=1\), то в \(G\) существует подгруппа порядка \(m\) (холлова подгруппа). Кроме того, любые две холловы подгруппы одного порядка сопряжены.

Конечные разрешимые группы обладают нормальным рядом, факторы которого — элементарные абелевы \(p\)-группы (прямые произведения циклических групп порядка \(p\)). Это позволяет сводить изучение к простым абелевым группам.

Бесконечные разрешимые группы

Бесконечные разрешимые группы могут быть более сложными. Примеры включают:

• Группа Гейзенберга (группа верхнетреугольных матриц 3x3 с единицами на диагонали над целыми числами) — нильпотентна, а значит, разрешима.
• Группа Баумслага — Солитера \(BS(1,n) = \langle a, b \mid a^{-1}ba = b^n \rangle\) для \(n \neq 0\) — разрешима, но не нильпотентна.
• Группа Григорчука — пример конечно порождённой бесконечной группы, которая является разрешимой, но не является конечно представленной.

Применение

Теория Галуа

Основное применение — в теории Галуа. Полевое расширение \(L/K\) является разрешимым в радикалах (то есть каждый элемент \(L\) может быть выражен через элементы \(K\) с помощью арифметических операций и извлечения корней) тогда и только тогда, когда группа Галуа \(\operatorname{Gal}(L/K)\) разрешима. Это даёт критерий для неразрешимости общего уравнения степени \(n \geq 5\) в радикалах, так как \(S_n\) для \(n \geq 5\) неразрешима.

Теория представлений

В теории представлений конечных групп разрешимые группы обладают рядом полезных свойств. Например, для них справедлива теорема Клиффорда, описывающая индуцированные представления. Также существует теорема Брауэра — Фаулера, связывающая порядки конечных простых групп с их централизаторами.

Комбинаторная теория групп

В комбинаторной теории групп разрешимые группы изучаются с точки зрения их презентаций, роста и свойств разрешимости. Например, проблема разрешимости слова для разрешимых групп решена положительно (для конечно представленных разрешимых групп алгоритм существует).

Криптография

Некоторые криптографические протоколы, основанные на некоммутативных группах, используют разрешимые группы. Например, протоколы, основанные на сложности задачи поиска сопрягающего элемента в разрешимых группах.

Интересные факты

• Минимальная неабелева разрешимая группа — это группа \(S_3\) (порядка 6).
• Существуют разрешимые группы, которые не являются нильпотентными, но при этом все их собственные подгруппы нильпотентны (например, \(S_3\)).
• Теорема Фейта — Томпсона, доказанная в 1963 году, является одним из самых длинных доказательств в математике (около 250 страниц). Она утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима.
• Понятие разрешимости обобщается на алгебраические структуры, такие как алгебры Ли, где разрешимая алгебра Ли определяется аналогичным образом через цепочку идеалов.

Источники

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Холл М. Теория групп. — М.: Иностранная литература, 1962.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1972.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2013.
• Dummit D. S., Foote R. M. Abstract Algebra. — 3rd ed. — Wiley, 2004.