Торальф Скулем¶

Торальф Скулем — норвежский математик и логик, один из основоположников теории моделей и конструктивной математики. Полное имя — Альберт Торальф Скулем (норв. Albert Thoralf Skolem; 23 мая 1887, Саннсвер — 23 марта 1963, Осло). Известен работами по математической логике, алгебре и теории диофантовых уравнений.

¶Биография

Торальф Скулем родился в коммуне Саннсвер (фylke Бускеруд) в семье учителя. В 1905 году поступил в Университет Кристиании (ныне Университет Осло), где изучал математику под руководством Акселя Тау. В 1909–1910 годах стажировался в Гёттингене — тогдашнем мировом центре математики, где слушал лекции Давида Гильберта и Феликса Клейна.

С 1910 года работал ассистентом у Кристиана Биркеланда в Институте физики, занимаясь расчётами полярных сияний. В 1918 году защитил докторскую диссертацию по теории цепных дробей. С 1930 года — профессор Бергенского музея (позже Университет Бергена), с 1938 года — профессор Университета Осло. Член Норвежской академии наук с 1918 года.

¶Основные достижения

¶Логика и теория моделей

Скулем — один из создателей теории моделей. В 1920 году он доказал теорему Лёвенгейма — Скулема, согласно которой любая выполнимая формула логики первого порядка имеет модель не более чем счётной мощности. В 1922 году усилил результат, сформулировав его для произвольных бесконечных мощностей. Из этой теоремы следует знаменитый парадокс Скулема: любая непротиворечивая теория множеств имеет счётную модель, хотя в ней доказуемо существование несчётных множеств.

В 1929 году Скулем предложил метод исключения кванторов для арифметики сложения и умножения, что позже легло в основу алгоритмов автоматического доказательства теорем. В 1934 году ввёл понятие примитивно рекурсивной функции, независимо от Курта Гёделя и Жака Эрбрана.

¶Алгебра

В теории решёток Скулем доказал теорему о том, что любая дистрибутивная решётка изоморфна решётке подмножеств некоторого множества. В 1927 году независимо от Эмми Нётер и Рихарда Брауэра разработал теорию простых алгебр над полями, включая теорему о центральных простых алгебрах (теорема Скулема — Нётер).

¶Диофантовы уравнения

В 1929 году Скулем разработал метод решения экспоненциальных диофантовых уравнений с помощью p-адических чисел. Этот метод, известный как метод Скулема, позволил решить ряд классических задач теории чисел, включая уравнение Рамануджана — Нагеля.

¶Конструктивная математика

Скулем был одним из первых сторонников конструктивного подхода в математике. В 1923 году он опубликовал работу «Основания элементарной арифметики», где предложил построение арифметики на основе рекурсивных функций без использования аксиомы бесконечности. Эта работа предвосхитила более поздние результаты Гёделя и Черча о неразрешимости.

¶Наследие

Именем Скулема названы: функция Скулема (в логике), теорема Скулема — Нётер (в алгебре), метод Скулема (в теории чисел), а также кратер на Луне (диаметр 7 км, координаты 47,2° с. ш., 123,1° з. д.). В 1962 году он был награждён медалью Гуннеруса — высшей наградой Норвежской академии наук.

Скулем опубликовал более 180 научных работ. Его полное собрание сочинений вышло в шести томах в 1992 году под редакцией Йенса Эрика Фенстада.

¶Источники

• Фенстад Й. Э. Торальф Скулем: биография и труды // Selected Works in Logic. — Oslo: Universitetsforlaget, 1970.
• Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: ИЛ, 1963.
• Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.