Трилинейное отображение

Трилинейное отображение — это отображение трёх векторных пространств в четвёртое (или в поле скаляров), линейное по каждому из трёх аргументов при фиксированных двух других. Является частным случаем полилинейного отображения (мультилинейного отображения) с валентностью 3. В отличие от билинейного отображения, трилинейное отображение включает три множителя, что существенно расширяет область его применения, особенно в алгебре, дифференциальной геометрии и криптографии.

Определение

Пусть \(V_1, V_2, V_3\) и \(W\) — векторные пространства над одним и тем же полем \(\mathbb{K}\) (обычно \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\)). Отображение \[ f: V_1 \times V_2 \times V_3 \to W \] называется трилинейным, если для любых \(v_1 \in V_1\), \(v_2 \in V_2\), \(v_3 \in V_3\) и любых скаляров \(\alpha, \beta \in \mathbb{K}\) выполняются условия линейности по каждому аргументу:

1. Линейность по первому аргументу:

\[ f(\alpha v_1 + \beta v_1', v_2, v_3) = \alpha f(v_1, v_2, v_3) + \beta f(v_1', v_2, v_3). \]

1. Линейность по второму аргументу:

\[ f(v_1, \alpha v_2 + \beta v_2', v_3) = \alpha f(v_1, v_2, v_3) + \beta f(v_1, v_2', v_3). \]

1. Линейность по третьему аргументу:

\[ f(v_1, v_2, \alpha v_3 + \beta v_3') = \alpha f(v_1, v_2, v_3) + \beta f(v_1, v_2, v_3'). \]

Если \(W = \mathbb{K}\) (поле скаляров), то отображение называют трилинейной формой. В этом случае оно принимает числовые значения.

Примеры

1. Определитель матрицы 3×3

Определитель квадратной матрицы третьего порядка, рассматриваемый как функция от трёх векторов-столбцов (или строк), является трилинейной формой. Если \(A = [\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3]\), где \(\mathbf{a}_i \in \mathbb{R}^3\), то \[ \det(A) = \det(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3) \] линейно зависит от каждого столбца при фиксированных остальных. Кроме того, определитель является кососимметрическим (знакопеременным) трилинейным отображением: при перестановке двух аргументов знак меняется на противоположный.

2. Смешанное произведение векторов в \(\mathbb{R}^3\)

Для трёх векторов \(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3\) смешанное произведение \[ (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \] является трилинейной формой. Оно геометрически интерпретируется как объём параллелепипеда, построенного на этих векторах (с точностью до знака). Это отображение также кососимметрично.

3. Тензорное произведение трёх пространств

Каноническое отображение \[ \tau: V_1 \times V_2 \times V_3 \to V_1 \otimes V_2 \otimes V_3, \] ставящее в соответствие тройке \((v_1, v_2, v_3)\) элементарный тензор \(v_1 \otimes v_2 \otimes v_3\), является трилинейным. Оно универсально в том смысле, что любое трилинейное отображение из \(V_1 \times V_2 \times V_3\) в \(W\) однозначно факторизуется через это тензорное произведение.

Свойства

Симметрия и антисимметрия

Трилинейное отображение может обладать дополнительными свойствами симметрии:

• Симметрическое: значение не меняется при любой перестановке аргументов.
• Кососимметрическое (знакопеременное): значение меняет знак при перестановке любых двух аргументов; если два аргумента равны, результат равен нулю.
• Циклически симметрическое: значение инвариантно относительно циклических перестановок аргументов (например, \(f(a,b,c) = f(b,c,a) = f(c,a,b)\)).

Связь с билинейными отображениями

Трилинейное отображение можно рассматривать как билинейное отображение, если зафиксировать один из аргументов. Например, для фиксированного \(v_3\) отображение \[ f_{v_3}(v_1, v_2) = f(v_1, v_2, v_3) \] является билинейным. Аналогично, фиксация двух аргументов даёт линейное отображение.

Представление в координатах

Если в пространствах \(V_1, V_2, V_3\) выбраны базисы, то трилинейное отображение \(f: V_1 \times V_2 \times V_3 \to \mathbb{K}\) (трилинейная форма) задаётся трёхмерным массивом (тензором третьего ранга) коэффициентов \(T_{ijk}\). Для базисных векторов \(\mathbf{e}_i^{(1)}, \mathbf{e}_j^{(2)}, \mathbf{e}_k^{(3)}\): \[ T_{ijk} = f(\mathbf{e}_i^{(1)}, \mathbf{e}_j^{(2)}, \mathbf{e}_k^{(3)}). \] Тогда для произвольных векторов \(\mathbf{x} = \sum_i x_i \mathbf{e}_i^{(1)}\), \(\mathbf{y} = \sum_j y_j \mathbf{e}_j^{(2)}\), \(\mathbf{z} = \sum_k z_k \mathbf{e}_k^{(3)}\): \[ f(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = \sum_{i,j,k} T_{ijk} \, x_i y_j z_k. \]

Применение

1. Криптография (трилинейные спаривания)

В современной криптографии, особенно в постквантовой и на основе эллиптических кривых, используются трилинейные отображения (трилинейные спаривания). Они обобщают билинейные спаривания (например, спаривание Вейля или Тейта) на три группы. Трилинейное отображение \[ e: G_1 \times G_2 \times G_3 \to G_T \] позволяет реализовать более сложные криптографические протоколы, такие как трёхсторонний обмен ключами (протокол Жу — однораундовый аналог протокола Диффи — Хеллмана для трёх сторон) и схемы с неинтерактивным доказательством с нулевым разглашением. В отличие от билинейных спариваний, трилинейные отображения в группах точек эллиптических кривых встречаются редко и требуют специальных конструкций (например, на основе кривых с высоким рангом или в контексте мультилинейных карт).

2. Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии трилинейные формы возникают при изучении кривизны. Например, тензор кривизны Римана \(R\) в точке многообразия можно интерпретировать как трилинейное отображение \[ R: T_pM \times T_pM \times T_pM \to T_pM, \] которое кососимметрично по первым двум аргументам и удовлетворяет тождеству Бьянки. Свёртка тензора кривизны с метрикой даёт трилинейную форму — тензор Римана (как 4-валентный тензор, но при фиксации одного аргумента он становится трилинейным).

3. Алгебра и теория представлений

Трилинейные отображения используются для определения структур на алгебрах. Например, алгебра Ли характеризуется билинейным отображением (скобкой Ли), а тройная алгебра Ли (или алгебра Лейбница) — трилинейным отображением, удовлетворяющим обобщённому тождеству Якоби. В теории представлений трилинейные инварианты (например, инварианты Кэли для групп) используются для классификации орбит.

4. Физика (тензор энергии-импульса)

В общей теории относительности тензор энергии-импульса \(T_{\mu\nu}\) является билинейной формой, но при рассмотрении взаимодействий трёх полей (например, в нелинейной электродинамике или в моделях с тремя скалярными полями) возникают трилинейные члены в лагранжиане. Трилинейные формы также появляются в квантовой теории поля при описании вершин взаимодействия трёх частиц (например, в диаграммах Фейнмана для трёхглюонной вершины в квантовой хромодинамике).

Трилинейные формы и тензоры

Множество всех трилинейных отображений из \(V_1 \times V_2 \times V_3\) в \(W\) образует векторное пространство, которое изоморфно пространству линейных отображений из тензорного произведения \(V_1 \otimes V_2 \otimes V_3\) в \(W\): \[ \mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_1 \otimes V_2 \otimes V_3, W) \cong \mathrm{Mult}_{\mathbb{K}}(V_1 \times V_2 \times V_3; W). \] В частности, трилинейные формы на \(V\) (когда \(V_1 = V_2 = V_3 = V\) и \(W = \mathbb{K}\)) образуют пространство, сопряжённое к \(V \otimes V \otimes V\), то есть \((V \otimes V \otimes V)^*\). В координатах это соответствует тензору типа \((0,3)\) — трижды ковариантному тензору.

См. также

• Билинейное отображение
• Полилинейное отображение
• Тензор
• Определитель
• Смешанное произведение векторов
• Мультилинейная карта (криптография)

Источники

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2013.
• Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. — М.: Наука, 1966.
• Boneh D., Silverberg A. Applications of Multilinear Forms to Cryptography. — Contemporary Mathematics, 2003.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.