Целое число — математическое понятие¶
Целое число — число, представляющее собой целостную единицу без дробной (рациональной дробной) части; математический объект, расширяющий множество натуральных чисел нулем и отрицательными числами. Множество целых чисел обозначается символом ℤ (от нем. Zahlen — «числа») и образует основу арифметики, теории чисел и алгебры. Целые числа используются для счёта объектов, обозначения долгов и дефицитов, кодирования состояний и во многих других областях.
¶История
Потребность в отрицательных числах возникла ещё в Древнем Китае: в трактате «Девять глав по математическому искусству» (Цзю чжан суань шу, I век до н. э.) отрицательные числа обозначались красными счётными палочками, положительные — чёрными. В Древней Индии Брахмагупта (VII век) сформулировал правила сложения и умножения отрицательных чисел. В Европе долгое время отрицательные числа считались «ложными»: их использование ограничивалось алгебраическими выкладками и не имело признания как самостоятельные математические объекты. Широкое распространение целые числа получили в работах Леонарда Эйлера, Карла Фридриха Гаусса и Нильса Абеля в XVIII–XIX веках.
¶Определение и построение
Строго целые числа строятся из натуральных с помощью отношения эквивалентности на парах натуральных чисел. Два числа (a, b) и (c, d) считаются эквивалентными, если a + d = c + b. Класс эквивалентности пары (a, b) интерпретируется как разность a − b. Так получается расширение натуральных чисел, в котором операция вычитания становится всегда определённой.
Целые числа образуют кольцо ℤ с операциями сложения и умножения. Кольцо ℤ является коммутативным, имеет единичный элемент 1, но не является полем: у большинства элементов нет обратных по умножению (исключение — 1 и −1). Наименьшее поле, содержащее ℤ как подкольцо, — поле рациональных чисел ℚ.
¶Свойства
¶Арифметические свойства
- Сложение и умножение целых чисел коммутативны и ассоциативны.
- Существует нейтральный элемент сложения (0) и умножения (1).
- Для каждого a существует противоположное число −a, такое что a + (−a) = 0.
- Закон распределения: a·(b + c) = a·b + a·c.
- В ℤ нет деления: частное двух целых чисел не всегда является целым числом.
¶Порядок
На ℤ определён линейный порядок: для любых a и b либо a < b, либо a = b, либо a > b. Порядок совместим с операциями: из a < b следует a + c < b + c, а при c > 0 — a·c < b·c.
¶Делимость
Центральное понятие теории чисел — делимость. Целое число a делится нацело на b (b ≠ 0), если существует целое c такое, что a = b·c. Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел, причём такое разложение единственно с точностью до порядка множителей.
¶Классификация целых чисел
| Класс | Описание | Примеры |
|---|---|---|
| Натуральные | Положительные целые (иногда включают 0) | 1, 2, 3, … |
| Ноль | Нейтральный элемент сложения | 0 |
| Отрицательные | Целые, противоположные натуральным | −1, −2, −3, … |
| Чётные | Делятся на 2 без остатка | …, −4, −2, 0, 2, 4, … |
| Нечётные | Не делятся на 2 | …, −3, −1, 1, 3, … |
| Простые | Больше 1 и имеют ровно два делителя | 2, 3, 5, 7, 11, … |
| Составные | Больше 1 и имеют более двух делителей | 4, 6, 8, 9, … |
¶Обобщения
Из ℤ естественным образом строятся кольца целых чисел алгебраических чисел, кольца целых чисел алгебраических числовых полей (например, кольцо целых чисел поля Гаусса ℤ[i] — комплексных чисел с целыми вещественной и мнимой частями). В теории колец изучаются идеалы кольца ℤ, которые порождаются одним элементом; это свойство делает ℤ главным идеальным кольцом и евклидовым кольцом.
¶Применение
Целые числа применяются в компьютерных технологиях как базовый тип данных (int в большинстве языков программирования), в криптографии (например, RSA использует свойства больших целых чисел), в комбинаторике и дискретной математике. В физике целые числа характеризуют квантовые числа заряда, спинового момента и других дискретных характеристик частиц.
¶Интересные факты
- Множество целых чисел счётно: его можно пронумеровать натуральными числами (…, −2 ↔ 2, −1 ↔ 1, 0 ↔ 0, 1 ↔ 3, 2 ↔ 4, …).
- Теорема Кантора — Бернштейна показывает, что ℤ имеет ту же мощность, что и ℕ, несмотря на то что ℕ ⊂ ℤ.
- Сумма всех натуральных чисел в регуляризованном смысле равна −1/12 — результат, связанный с дзета-функцией Римана, хотя в обычном понимании ряд расходится.
¶Источники
- Курош А. Г. Курс общей алгебры.
- Новиков П. С. Элементы математической логики.
- Винберг Э. Б. Курс линейной алгебры.
- Гаусс К. Ф. Арфметические исследования.
- Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.