Уравнение — математическое выражение с равенством¶
Уравнение — это математическое соотношение, в котором выражения, содержащие переменные величины, приравниваются друг к другу знаком равенства. Уравнение является одним из основных объектов алгебры и математического анализа и служит инструментом математического моделирования: с его помощью описывают количественные отношения между переменными в задачах физики, техники, экономики и других наук.
¶Основные понятия
Уравнение состоит из двух частей — левой и правой, разделённых знаком равенства. Часть уравнения, содержащая неизвестные величины, называется неизвестной (или переменной). Значение неизвестной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называется решением уравнения. Множество всех решений уравнения образует корни уравнения.
Уравнение, верное при любых допустимых значениях переменных, называется тождеством. Уравнение, не имеющее решений, называется противоречивым. Например, уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет вещественных решений, но имеет два комплексных корня.
¶Классификация
Уравнения разделяют по нескольким признакам.
По типу неизвестных:
- Алгебраические уравнения — неизвестные входят только в алгебраических выражениях (степенных, рациональных).
- Трансцендентные уравнения — содержат тригонометрические, показательные, логарифмические или иные трансцендентные функции неизвестной.
По степени неизвестной в алгебраических уравнениях:
| Степень | Название | Пример |
|---|---|---|
| 1 | Линейное (первого порядка) | $2x + 3 = 7$ |
| 2 | Квадратное | $x^2 - 5x + 6 = 0$ |
| 3 | Кубическое | $x^3 - x = 0$ |
| $n$ | Уравнение $n$-й степени | $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ |
По количеству неизвестных различают уравнения с одной неизвестной и системы уравнений — несколько уравнений, связанных общими неизвестными.
По характеру коэффициентов:
- Числовые уравнения — все коэффициенты заданы числами.
- Параметрические уравнения — содержат параметры, значения которых задаются дополнительно.
¶История
Понятие уравнения формировалось на протяжении тысячелетий. Древнеегипетский папирус Ринда (около 1650 года до н. э.) содержит задачи, решаемые методом «вычисления наоборот», по сути представляющие простейшие линейные уравнения. Вавилонские математики (II—I тысячелетия до н. э.) умели решать квадратные уравнения, хотя и не располагали алгебраической символикой.
Термин «алгебра» происходит от названия трактата аль-Хорезми «Аль-джабр ва-ль-мукабала» (около 820 года), в котором систематизированы методы решения линейных и квадратных уравнений. Слово «аль-джабр» (восстановление) дало название операции приведения слагаемых.
В XVI—XVII веках итальянские математики (Джероламо Кардано, Лодовико Феррари, Рафаэль Бомбелли) нашли формулы решения квадратных, кубических и уравнений четвёртой степени. В XVIII веке Леонард Эйлер и Жозеф Лагранж разработали общие методы исследования алгебраических уравнений. Теорема Абеля—Галуа (XIX век) установила, что уравнения пятой и более высоких степеней не разрешимы в радикалах в общем виде.
¶Методы решения
Для уравнений различных классов разработаны специальные методы:
- Обратные операции — для простейших уравнений (пример: $2x + 3 = 7$).
- Факторизация — приведение уравнения к виду произведения множителей, один из которых обращается в ноль.
- Квадратная формула — общее решение уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант.
- Метод Виета — связь корней квадратного уравнения с его коэффициентами.
- Численные методы (метод Ньютона, метод деления отрезка пополам) — приближённое решение уравнений, не разрешимых аналитически.
- Графический метод — поиск точек пересечения графиков левой и правой частей.
¶Уравнения в прикладных науках
Уравнения являются основным инструментом математического моделирования. В физике и технике используются дифференциальные уравнения (уравнение Ньютона, уравнение Шрёдингера, уравнения Максвелла), описывающие законы природы. В химии уравнения химических реакций фиксируют стехиометрические соотношения. В экономике уравнения моделируют равновесие рынка, в биологии — динамику популяций.
Понятие уравнения обобщается в математическом анализе до уравнений с функциями неизвестной (функциональные уравнения, дифференциальные и интегральные уравнения), изучаются отдельными разделами математики.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа
- Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по высшей математике
- Никольский С. М. Математический анализ
- Энциклопедический словарь: Математика