Восьмиугольник: свойства и применение¶

Восьмиугольник — это геометрическая фигура, плоский многоугольник с восемью сторонами и восемью углами. Относится к классу простых многоугольников; в зависимости от равенства сторон и углов различают правильный и неправильный восьмиугольник. Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника составляет 1080°, а сумма внешних углов — 360°.

¶Основные свойства

Для выпуклого восьмиугольника с числом сторон n = 8 справедливы общие формулы многоугольников:

• сумма внутренних углов: (n − 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°;
• число диагоналей: n(n − 3) / 2 = 8 × 5 / 2 = 20;
• каждый внутренний угол правильного восьмиугольника равен 1080° / 8 = 135°;
• каждый внешний угол равен 45°.

Восьмиугольник может быть выпуклым, невыпуклым (вогнутым) и самопересекающимся. Простейший самопересекающийся вариант — октаграмма, получаемая соединением вершин через одну.

¶Правильный восьмиугольник

Правильным называется восьмиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны между собой. Он обладает осевой и центральной симметрией: имеет 8 осей симметрии и порядок вращательной симметрии 8. Правильный восьмиугольник можно построить циркулем и линейкой, поскольку 8 = 2³ — степень двойки.

Основные метрические соотношения для правильного восьмиугольника со стороной a:

Площадь правильного восьмиугольника также выражается через радиус описанной окружности R: S = 2√2 R². Отношение площади правильного восьмиугольника к квадрату, построенному на его стороне, — величина постоянная.

¶Построение

Правильный восьмиугольник строится несколькими способами. Наиболее простой — последовательное деление окружности: сначала строят квадрат, вписанный в окружность, затем через центр проводят биссектрисы прямых углов (под углами 45°), получая ещё четыре точки на окружности. Соединив все восемь точек последовательно, получают правильный восьмиугольник. Альтернативный метод — откладывание центрального угла 45° (360° / 8) с помощью транспортира или делением окружности пополам, затем ещё раз пополам и так далее.

¶Применение в архитектуре

Восьмиугольная форма издавна использовалась в зодчестве. В русском храмовом зодчестве распространён тип восьмерик на четверике — композиция, при которой на кубическом основании (четверике) возводится восьмигранный объём (восьмерик), часто увенчанный шатром или куполом. Такая схема характерна для шатровых храмов XVI–XVII веков и для многих колоколен. Примеры — церковь Вознесения в Коломенском (элементы композиции), многочисленные шатровые храмы и колокольни.

В мировой архитектуре восьмиугольные планы встречаются в византийских и романских храмах, баптистериях (например, восьмиугольный баптистерий во Флоренции), а также в светских постройках — башнях, павильонах, беседках. Восьмиугольник хорошо заполняет пространство и допускает центрическую композицию.

¶Применение в технике и быту

Форма восьмиугольника применяется в самых разных областях:

• дорожные знаки — знак «Движение без остановки запрещено» (STOP) имеет форму правильного восьмиугольника; это сделано для однозначного распознавания знака даже с обратной стороны;
• гайки и головки болтов — восьмигранные и шестигранные профили удобны для захвата ключом; существуют восьмигранные гайки;
• манометры и приборы — восьмиугольные корпуса встречаются в промышленных приборах;
• плитка и паркет — правильными восьмиугольниками вместе с квадратами можно замостить плоскость без зазоров (мозаика из восьмиугольников и квадратов);
• игровые поля, шахматные доски нестандартных форм, элементы дизайна.

¶Восьмиугольник в культуре и символике

Восьмиугольник нередко наделялся символическим значением. В христианской традиции число восемь ассоциируется с воскресением и вечностью (восьмой день — день обновления). Восьмиугольные купели и баптистерии символизировали новое рождение. В исламском искусстве восьмиконечная звезда (два наложенных квадрата) — распространённый орнаментальный мотив. В геральдике и нумизматике встречаются восьмиугольные монеты и медальоны.

¶Октаграмма

Октаграмма — восьмиконечная звезда, образованная соединением вершин правильного восьмиугольника через одну или двумя наложенными квадратами. Существуют два основных типа: {8/2} — два квадрата, и {8/3} — собственно звезда с более острыми лучами. Октаграмма используется в орнаментах, религиозной символике и дизайне.

¶Родственные понятия

Восьмиугольник связан с другими многоугольниками: квадрат (4 стороны) и шестнадцатиугольник (16 сторон) получаются последовательным удвоением числа сторон. Правильный восьмиугольник является частным случаем правильного n-угольника и приближается к окружности при увеличении числа сторон. В стереометрии аналогом восьмиугольника в трёхмерном пространстве выступают многогранники с восьмиугольными гранями, например усечённый куб.

Источники: учебники по элементарной геометрии, справочники по многоугольникам, материалы по истории архитектуры, правила дорожного движения.