Вписываемая окружность треугольника¶

Вписываемая окружность треугольника — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника изнутри. Её центр называется инцентром треугольника, а радиус — инрадиусом. В любой треугольник можно вписать ровно одну окружность: это следует из того, что три внутренние биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудалённой от всех трёх сторон.

¶Существование и единственность

Точка, равноудалённая от двух сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, точка, равноудалённая от всех трёх сторон треугольника, должна лежать одновременно на трёх внутренних биссектрисах. Известно, что три внутренние биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке — инцентре. Расстояние от инцентра до любой стороны есть радиус окружности, которая касается всех трёх сторон изнутри.

Для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника инцентр всегда лежит внутри треугольника, поскольку внутренние биссектрисы не выходят за его границы. Это отличает инцентр от центра описанной окружности (центроида, ортоцентра и центра тяжести), которые при некоторых формах треугольника могут находиться вне его.

¶Формулы для инцентра и инрадиуса

Обозначим стороны треугольника через $a$, $b$, $c$, полупериметр — через $p = (a+b+c)/2$, площадь — через $S$. Тогда радиус вписанной окружности выражается формулой:

$$r = \frac{S}{p}.$$

Эта формула справедлива для любого треугольника и является одним из стандартных способов вычисления инрадиуса.

Инцентр в декартовых координатах, если вершины треугольника имеют координаты $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$, а соответствующие стороны равны $a$, $b$, $c$, определяется формулой:

$$I = \left(\frac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a + b + c},\ \frac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a + b + c}\right).$$

То есть инцентр является взвешенным средним вершин, где веса — длины противоположных сторон.

¶Частные случаи

¶Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике со стороной $a$ инцентр совпадает с центром тяжести, ортоцентром, центром описанной окружности и центром симметрии. Инрадиус равен:

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6},$$

а радиус описанной окружности $R = 2r = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.

¶Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ инрадиус вычисляется по формуле:

$$r = \frac{a + b - c}{2}.$$

Инцентр лежит на расстоянии $r$ от каждой из сторон, в том числе от гипотенузы.

¶Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике инцентр лежит на оси симметрии (медиане, проведённой к основанию). Если основание равно $a$, а боковые стороны — $b$, то полупериметр $p = (a + 2b)/2$, и инрадиус определяется через площадь по общей формуле $r = S/p$.

¶Связь с другими центрами треугольника

Инцентр не совпадает ни с одним из четырёх классических центров (центроид, ортоцентр, центр описанной окружности, центр девяти точек), кроме случая равностороннего треугольника. Однако существуют важные соотношения:

• Расстояние от инцентра до центра описанной окружности $O$ задаётся формулой Эйлера: $OI^2 = R(R - 2r)$, откуда следует неравенство Эйлера $R \geq 2r$ с равенством только для равностороннего треугольника.
• Точка, симметричная инцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности.
• Точки касания вписанной окружности со сторонами образуют контактный треугольник (треугольник Гутперля), для которого инцентр является ортоцентром.

¶Вписывание окружности в частные типы треугольников

Условие «в какой треугольник можно вписать окружность» имеет однозначный ответ: в любой треугольник. Ограничения возникают лишь при рассмотрении окружности, касающейся не всех сторон, а, например, двух сторон и продолжения третьей — такие окружности называются прививными (эксцентрическими). У каждого треугольника существует три прививные окружности, центры которых лежат на соответствующих внешних биссектрисах.

¶Применение

Концепция вписанной окружности применяется в геометрических задачах школьного и вузовского курса, в компьютерной графике (задачи вписывания, триангуляции), в архитектуре и дизайне при построении орнаментов, а также в задачах оптимизации — например, при поиске наибольшей окружности, помещающейся в произвольный выпуклый многоугольник.

¶Исторический очерк

Свойства вписанной окружности были известны ещё в Древней Греции. Евклид в «Началах» (книга IV, предложение 3) строит окружность, вписанную в данный треугольник, с помощью биссектрис углов. Систематическое изучение центров треугольника, включая инцентр, активно развивалось в XIX веке в работах немецких и французских геометров, таких как Якоб Штейнер и Виктор-Амеде Лемонье.