Вычитание в арифметике¶
Вычитание — арифметическая операция, обратная сложению, результат которой называется разностью. В выражении «минус» обозначается знаком минус (−); из минусаемого вычитается вычитаемое. Операция вычитания является одной из четырёх основных операций над числами наряду со сложением, умножением и делением.
¶Основные понятия
Вычитание записывается в виде формулы:
a − b = c
где a — минусаемое, b — вычитаемое, c — разность. Разность обладает свойством: если прибавить вычитаемое к разности, получится минусаемое, то есть c + b = a. Это свойство позволяет проверять правильность вычитания.
¶Вычитание натуральных чисел
Вычитание натуральных чисел определяется через сложение: a − b = c тогда и только тогда, когда b + c = a. При этом операция определена не для всех пар натуральных чисел: если вычитаемое больше минусаемого, разность в множестве натуральных чисел не существует. Например, из 5 нельзя вычесть 8, поскольку нет натурального числа, которое при сложении с 8 дало бы 5.
Чтобы операция вычитания стала определённой для любых натуральных чисел, расширяют множество чисел — вводят целые числа, в которых появляются отрицательные числа и ноль.
¶Вычитание целых чисел
В множестве целых чисел вычитание определено для любой пары чисел. Правила знаков сводятся к сложению с противоположным числом:
- a − b = a + (−b);
- a − (−b) = a + b.
Таким образом, вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного, и наоборот. Например, 3 − (−5) = 3 + 5 = 8, а 3 − 5 = 3 + (−5) = −2.
¶Вычитание дробей
Для вычитания обыкновенных дробей приводят знаменатели к общему, после чего вычитают числители:
a/b − c/d = (ad − bc)/(bd).
Для десятичных дробей вычитание выполняется по правилам выравнивания разрядов: записывают числа столбиком, дополняя меньшее по разрядам нулями, и вычитают, начиная с младшего разряда.
¶Порядок действий
В арифметических выражениях вычитание, как и сложение, относится к операциям первого уровня приоритета и выполняется в порядке слева направо. Однако если перед группой слагаемых или вычитаемых стоит знак скобок, сначала вычисляется выражение в скобках. В частности, при последовательном вычитании нескольких чисел скобки меняют результат: a − (b − c) = a − b + c, что отличается от (a − b) − c = a − b − c.
¶Свойства
Полное свойство вычитания в целых числах: (a − b) − c = (a − c) − b. Вычитание не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: в общем случае a − b ≠ b − a и (a − b) − c ≠ a − (b − c). Именно поэтому порядок действий при вычитании имеет значение.
¶Примеры вычислений
- 10 − 8 = 2 — простейший пример вычитания натуральных чисел: из десяти вычитаем восемь, разность равна двум. Проверка: 8 + 2 = 10.
- 15 − 7 = 8 — при вычитании в пределах двадцати.
- 100 − 45 = 55 — вычитание с переходом через разряд.
- 0,75 − 0,3 = 0,45 — вычитание десятичных дробей.
- 2/3 − 1/6 = 4/6 − 1/6 = 3/6 = 1/2 — вычитание обыкновенных дробей.
¶Применение
Вычитание используется при решении задач на нахождение разности, в вычислениях остатка, при определении возраста, расчёте сдачи, вычислении расстояния между точками и во многих других практических ситуациях. В школьной программе вычитание изучается на начальном этапе обучения математике и служит основой для освоения более сложных арифметических и алгебраических действий.
¶Интересные факты
В древности вычитание нередко выполнялось с помощью специальных инструментов: в Древнем Египте и Римской империи для вычислений применялись мелкие камни (calculi), откуда произошло слово «калькуляция». В средневековой Европе вычитание долгое время считалось более сложной операцией, чем сложение, и в учебниках разбиралось позже.
Источники:
- Колягин Г. Б. «Математика. 1–4 классы: учебное пособие для общеобразовательных учреждений»
- Виленкин Н. Я., Жохов В. И. «Математика. 5 класс»
- Энциклопедический словарь школьника. Математика
- Большая математическая энциклопедия