Взвешенная скользящая средняя

Взвешенная скользящая средняя (Weighted Moving Average, WMA) — это метод сглаживания временных рядов, при котором более поздним данным присваивается больший вес по сравнению с более ранними. Относится к классу скользящих средних и используется в техническом анализе финансовых рынков, статистике и обработке сигналов для уменьшения влияния случайных колебаний и выявления трендов. В отличие от простой скользящей средней (SMA), где все значения имеют одинаковый вес, WMA позволяет более чувствительно реагировать на изменения в последних данных.

Принцип расчёта

Взвешенная скользящая средняя вычисляется как среднее арифметическое значений ряда, каждое из которых умножено на свой весовой коэффициент. Сумма весов должна равняться единице (или 100 %). В наиболее распространённом варианте веса линейно возрастают от самого старого значения (минимальный вес) к самому новому (максимальный вес). Для периода \( n \) веса обычно задаются по формуле: \( w_i = \frac{i}{\sum_{j=1}^{n} j} \), где \( i \) — номер наблюдения от 1 (самое старое) до \( n \) (самое новое). Тогда WMA рассчитывается как:

\[ WMA = \frac{\sum_{i=1}^{n} (p_i \cdot w_i)}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

где \( p_i \) — значение временного ряда в момент \( i \). В случае линейного взвешивания знаменатель равен \( \frac{n(n+1)}{2} \).

Виды взвешенных скользящих средних

Линейно-взвешенная скользящая средняя (LWMA)

Наиболее распространённый тип. Веса распределяются по арифметической прогрессии: последнее значение получает вес \( n \), предпоследнее — \( n-1 \), и так далее до 1. Этот метод прост в реализации и даёт умеренное увеличение чувствительности к новым данным.

Экспоненциально-взвешенная скользящая средняя (EMA)

Хотя формально EMA — отдельный тип скользящей средней, её часто рассматривают как разновидность взвешенной. Веса в EMA убывают экспоненциально: каждое предыдущее значение имеет вес, равный весу следующего, умноженному на коэффициент сглаживания \( \alpha \) (обычно \( \alpha = \frac{2}{n+1} \)). EMA более чувствительна к последним данным, чем LWMA, и требует меньше вычислительных ресурсов, так как может быть рассчитана рекурсивно.

Другие варианты

В отдельных случаях используются квадратичные, кубические или пользовательские веса, задаваемые аналитиком в зависимости от специфики ряда. Например, в обработке сигналов применяют веса, основанные на гауссовом распределении, для сглаживания с минимальным искажением фазы.

Применение в техническом анализе

На финансовых рынках взвешенная скользящая средняя используется для:

• Идентификации тренда: если цена находится выше WMA, тренд считается восходящим, ниже — нисходящим. Благодаря большему весу последних данных WMA быстрее реагирует на развороты, чем SMA.
• Сигналов пересечения: пересечение ценой линии WMA (снизу вверх — сигнал к покупке, сверху вниз — к продаже) или пересечение двух WMA с разными периодами (например, короткая WMA пересекает длинную WMA снизу вверх — «золотой крест»).
• Поддержки и сопротивления: линия WMA может выступать динамическим уровнем поддержки (при восходящем тренде) или сопротивления (при нисходящем). Чем короче период WMA, тем ближе линия к текущей цене.

Преимущества и недостатки по сравнению с SMA

Преимущества:

• Более быстрая реакция на изменения цены, что позволяет раньше замечать развороты тренда.
• Меньшее запаздывание (lag) по сравнению с SMA при одинаковом периоде.

Недостатки:

• Подвержена ложным сигналам при высокой волатильности, так как чувствительна к краткосрочным скачкам.
• Более сложный расчёт (особенно для больших периодов) по сравнению с SMA, хотя современные вычислительные средства делают это незначительным.
• Возможны «ложные пробои» линии WMA, что требует дополнительных фильтров (например, подтверждения объёмом).

Применение в статистике и обработке сигналов

Вне финансов взвешенная скользящая средняя применяется для:

• Сглаживания временных рядов: в метеорологии, экономике, демографии для удаления сезонных или случайных колебаний. Например, при расчёте индекса потребительских цен могут использоваться взвешенные средние для придания большего значения последним месяцам.
• Цифровой обработки сигналов: как фильтр нижних частот с линейной фазовой характеристикой (при симметричных весах). Взвешенные средние используются для подавления шума в аудио- и видеосигналах, а также в системах навигации.
• Прогнозирования: в простых моделях прогнозирования, где последние наблюдения считаются более информативными. Например, метод экспоненциального сглаживания (Хольта-Винтерса) основан на взвешенных средних.

Пример расчёта

Пусть имеется временной ряд цен за 5 дней: [10, 12, 11, 13, 15]. Рассчитаем линейно-взвешенную скользящую среднюю с периодом 5.

1. Определяем веса: для \( n=5 \) сумма весов = \( 1+2+3+4+5 = 15 \). Веса: 1/15, 2/15, 3/15, 4/15, 5/15.
2. Умножаем цены на веса:

• 10 × 1/15 = 0,667
• 12 × 2/15 = 1,600
• 11 × 3/15 = 2,200
• 13 × 4/15 = 3,467
• 15 × 5/15 = 5,000

1. Суммируем: 0,667 + 1,600 + 2,200 + 3,467 + 5,000 = 12,934.

Таким образом, WMA за 5 дней равна 12,93. Для сравнения, простая скользящая средняя за тот же период составила бы (10+12+11+13+15)/5 = 12,2. WMA оказалась выше, так как придала больший вес последнему высокому значению (15).

Критика и ограничения

Основной недостаток взвешенной скользящей средней — субъективность выбора весов. В отличие от SMA, где веса объективно равны, в WMA аналитик должен задать схему взвешивания, что может привести к подгонке результатов. Кроме того, при резких изменениях ряда (например, при «шоковых» новостях) WMA может давать чрезмерно резкие сигналы, что увеличивает риск ложных срабатываний.

В техническом анализе некоторые трейдеры критикуют WMA за то, что она не учитывает волатильность или объём торгов, и рекомендуют использовать её в сочетании с другими индикаторами (например, с индексом относительной силы (RSI) или полосами Боллинджера). Также отмечается, что при длинных периодах WMA начинает вести себя почти как SMA, теряя преимущество в чувствительности.

Источники

• Мэрфи, Дж. Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. — М.: Диаграмма, 1998.
• Швагер, Дж. Технический анализ: полный курс. — М.: Альпина Паблишер, 2001.
• Box, G. E. P., Jenkins, G. M., Reinsel, G. C., Ljung, G. M. Time Series Analysis: Forecasting and Control. — 5th ed. — Wiley, 2015.
• Oppenheim, A. V., Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing. — 3rd ed. — Pearson, 2009.