Аксиома Архимеда¶

Аксиома Архимеда — одно из свойств вещественных чисел, заключающееся в том, что для любых двух положительных чисел \(a\) и \(b\) найдётся такое натуральное число \(n\), что \(n \cdot a > b\). В более общей формулировке: для любого положительного числа \(a\) и любого вещественного числа \(b\) существует натуральное \(n\), при котором \(n a > b\). Это свойство выражает идею о том, что, многократно откладывая меньший отрезок, можно превзойти любой больший отрезок. Аксиома Архимеда является фундаментальным свойством вещественных чисел, отличающим их, например, от гипердействительных чисел в нестандартном анализе. Она названа в честь древнегреческого математика и механика Архимеда Сиракузского (ок. 287–212 до н. э.), который сформулировал её в своих работах, хотя в неявном виде она использовалась и до него, в частности в «Началах» Евклида.

¶История

Первые формулировки аксиомы Архимеда встречаются в IV книге «Начал» Евклида (ок. 300 г. до н. э.), где она используется для доказательства теорем о кругах и правильных многоугольниках. Однако Евклид не выделял её как отдельный постулат. В явном виде аксиома была сформулирована Архимедом в трактате «О шаре и цилиндре» (ок. 225 г. до н. э.). Архимед использовал её для доказательства соотношений между объёмами и площадями поверхностей, в частности для вывода формулы объёма шара. В его изложении аксиома звучала так: «Из неравных линий, неравных поверхностей и неравных тел большая превосходит меньшую на такую величину, которая, будучи прибавлена к себе, может превзойти любую заданную величину из тех, которые сравниваются между собой».

В античной математике аксиома Архимеда считалась очевидным свойством геометрических величин и не подвергалась сомнению. В средние века она была переосмыслена в контексте бесконечно малых величин. В эпоху Возрождения и Нового времени, с развитием анализа бесконечно малых (XVII–XVIII века), аксиома Архимеда стала одним из оснований для построения теории пределов. В 1872 году немецкий математик Рихард Дедекинд, формулируя аксиоматику вещественных чисел, включил аксиому Архимеда в качестве одного из необходимых условий. Позднее, в 1899 году, Давид Гильберт в своей аксиоматике евклидовой геометрии также использовал аксиому Архимеда как одну из аксиом непрерывности.

¶Формулировки

Существует несколько эквивалентных формулировок аксиомы Архимеда, применяемых в разных разделах математики.

¶Для вещественных чисел

В теории вещественных чисел аксиома Архимеда формулируется следующим образом: для любых двух положительных вещественных чисел \(a\) и \(b\) существует натуральное число \(n\) такое, что \(n a > b\). Эквивалентная формулировка: для любого положительного вещественного числа \(a\) существует натуральное число \(n\) такое, что \(n > a\) (то есть множество натуральных чисел не ограничено сверху в множестве вещественных чисел).

¶В геометрии

В геометрии аксиома Архимеда (аксиома Евдокса — Архимеда) утверждает: для любых двух отрезков \(AB\) и \(CD\) (где \(AB < CD\)) существует такое натуральное число \(n\), что \(n \cdot AB > CD\). Иными словами, многократным откладыванием меньшего отрезка можно превзойти больший. Эта аксиома является одной из аксиом непрерывности в геометрии Гильберта.

¶В теории упорядоченных полей

В общей алгебре аксиома Архимеда применяется к упорядоченным полям. Поле называется архимедовым, если для любого его положительного элемента \(a\) существует натуральное число \(n\) такое, что \(n \cdot 1 > a\), где \(1\) — единица поля. Неархимедовы поля, например, поле гипердействительных чисел, не удовлетворяют этому условию.

¶Свойства и следствия

Аксиома Архимеда является одним из ключевых свойств вещественных чисел, обеспечивающим их полноту и связность. Вместе с аксиомой полноты (непрерывности) она составляет основу математического анализа.

¶Следствия для вещественных чисел

1. Плотность рациональных чисел: для любых двух вещественных чисел \(a < b\) существует рациональное число \(r\) такое, что \(a < r < b\). Это следствие доказывается с использованием аксиомы Архимеда.
2. Существование предела: аксиома Архимеда используется при доказательстве того, что любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел (теорема Вейерштрасса).
3. Сходимость рядов: для доказательства сходимости или расходимости многих рядов (например, гармонического ряда) применяется аксиома Архимеда.

¶В геометрии

В геометрии аксиома Архимеда позволяет:

• сравнивать длины отрезков и площади фигур;
• доказывать существование числа \(\pi\) как отношения длины окружности к диаметру;
• обосновывать метод исчерпывания, разработанный Евдоксом и Архимедом для вычисления площадей и объёмов.

¶Критика и альтернативы

Аксиома Архимеда не является логически необходимой для всех математических структур. В нестандартном анализе, развитом Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах, вводятся гипердействительные числа, которые содержат бесконечно малые и бесконечно большие элементы, не удовлетворяющие аксиоме Архимеда. В таких полях существуют числа, которые меньше любого положительного рационального числа, но не равны нулю (бесконечно малые), и числа, которые больше любого натурального числа (бесконечно большие). Это позволяет формализовать интуитивные представления о бесконечно малых, которые использовались в анализе XVII–XVIII веков.

В некоторых неевклидовых геометриях (например, в геометрии Лобачевского) аксиома Архимеда также может не выполняться. В частности, в геометрии Лобачевского существуют так называемые «архимедовы» и «неархимедовы» модели, где аксиома Архимеда может быть нарушена для определённых типов отрезков.

¶Применение

Аксиома Архимеда широко используется в различных областях математики и её приложений:

• Математический анализ: основа для построения теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления.
• Теория меры: для доказательства существования меры Лебега и её свойств.
• Численные методы: для оценки погрешностей и сходимости алгоритмов.
• Физика: в механике — для описания непрерывных величин (например, времени, массы, расстояния), где предполагается, что любую величину можно измерить с любой точностью, последовательно откладывая единицу измерения.

¶Интересные факты

• Аксиома Архимеда иногда называется аксиомой Евдокса — Архимеда, поскольку древнегреческий математик Евдокс Книдский (ок. 408–355 до н. э.) впервые сформулировал её в контексте метода исчерпывания.
• В аксиоматике вещественных чисел, предложенной Джузеппе Пеано в 1889 году, аксиома Архимеда не входит в число аксиом Пеано для натуральных чисел, но является следствием принципа индукции. Для вещественных чисел она добавляется как дополнительное условие.
• В некоторых учебниках аксиому Архимеда формулируют как «свойство Архимеда» или «архимедово свойство».

¶Источники

• Архимед. «О шаре и цилиндре» (ок. 225 г. до н. э.).
• Гильберт Д. «Основания геометрии» (1899).
• Дедекинд Р. «Непрерывность и иррациональные числа» (1872).
• Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1, 1966).
• Кудрявцев Л. Д. «Математический анализ» (том 1, 1970).