Бикус — тип кубического уравнения¶

Бикус (лат. bicus, от bi- — «два» и cubus — «куб») — термин, обозначающий кубическое уравнение, то есть алгебраическое уравнение вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, где $a \neq 0$. В русскоязычной математической традиции слово «бикус» используется как разговорное и учебное сокращение для обозначения кубических уравнений и соответствующих им кубических функций, а также для обозначения кубических кривых (кубик) в аналитической геометрии.

¶Происхождение термина

Слово «бикус» является калькой с латинского bicus — сокращённой формы от bicubicum («двойной куб»). Термин получил распространение в русскоязычной математической литературе XIX — начала XX века как удобное обозначение для кубических полиномов и уравнений. В современном русском школьном и вузовском курсе алгебры термин «бикус» употребляется редко, уступив место стандартному обозначению «кубическое уравнение», однако он сохраняется в некоторых учебных пособиях, олимпиадных задачах и разговорной математической речи.

¶Определение и свойства

Кубическое уравнение (бикус) над полем действительных или комплексных чисел имеет вид:

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,\quad a \neq 0$$

Ключевые свойства:

• Кубическое уравнение имеет ровно три корня с учётом кратности (в поле комплексных чисел, по теореме о полноте корней).
• Корни могут быть действительными или комплексными; комплексные корни идут парами комплексно-сопряжённых чисел, если коэффициенты уравнения действительны.
• Дискриминант кубического уравнения $\Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2$ определяет характер корней: при $\Delta > 0$ три различных действительных корня, при $\Delta = 0$ есть кратный корень, при $\Delta < 0$ один действительный и два комплексно-сопряжённых корня.

¶Методы решения

¶Тождество Кардано

Наиболее известный общий метод решения кубических уравнений — формула Кардано, опубликованная в трактате «Ars Magna» (1545) итальянского математика Джероламо Кардано, хотя приоритет в открытии формулы принадлежит Сципионе дель Ферро и Никколо Тарталье. Формула позволяет выразить корни кубического уравнения через радикалы.

¶Метод Виета

Для приведённого уравнения $x^3 + px + q = 0$ (после подстановки $x = y - b/3a$, устраняющей слагаемое $x^2$) применяется метод Виета: подбираются два числа $u$ и $v$ такие, что $u + v = -q$ и $uv = -p^3/27$. Тогда один из корней имеет вид $x = u^{1/3} + v^{1/3}$.

¶Тригонометрический метод

При $\Delta < 0$ (три действительных корня) удобен тригонометрический метод, основанный на формуле для куба косинуса: $\cos 3\varphi = 4\cos^3\varphi - 3\cos\varphi$. Корни выражаются через косинусы аргументов, кратных одной трети.

¶Численные методы

На практике для приближённого решения кубических уравнений применяются метод Ньютона, метод хорд, метод секущих и другие итерационные алгоритмы.

¶Графическое представление

График функции $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ — кубическая парабола (кривая третьей степени). Она имеет не более двух точек перегиба и, в зависимости от коэффициентов, может монотонно возрастать или убывать, либо иметь локальные максимум и минимум. Точки перегиба находятся решением уравнения $6ax + 2b = 0$, то есть при $x = -b/(3a)$.

¶Применение

Кубические уравнения встречаются в различных областях:

• Физика и механика — уравнения состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса приводится к кубическому уравнению относительно объёма).
• Геометрия — задачи о делении куба, о нахождении кубического корня, построения кубических кривых.
• Криптография — некоторые схемы на основе эллиптических кривых и кубических уравнений над конечными полями.
• Компьютерная графика — кубические кривые Безье и кубические сплайны используются для аппроксимации и интерполяции.
• Химия и термодинамика — при расчёте фазовых равновесий.

¶Исторический контекст

Проблема решения кубических уравнений имеет давнюю историю. Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) решали частные случаи кубических уравнений методом подбора. В эпоху исламского Золотого века персидский математик Омар Хайям (XI век) систематизировал классификацию кубических уравнений и решал их геометрически, с помощью пересечений конических сечений. Итальянские алгебраисты XVI века — Сципионе дель Ферро, Никколо Тарталья, Джероламо Кардано и Луиджи Феррари — впервые получили общие радикальные формулы для кубических и биквадратных уравнений.

¶См. также

• Квадратное уравнение
• Формула Кардано
• Теорема Виета
• Кубическая кривая
• Уравнение Ван-дер-Ваальса

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия.
• Виленкин Н. Я. и др. Математика. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций.
• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
• Каплан А. Я. Сборник задач по высшей математике.