Парабола как геометрическая кривая¶

Парабола — плоская кривая, одно из конических сечений, образуемое пересечением прямого кругового конуса плоскостью, параллельной одной из его образующих. В аналитической геометрии парабола определяется как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы). Наряду с эллипсом и гиперболой парабола относится к кривым второго порядка и описывается уравнением второй степени.

¶Определение и каноническое уравнение

В декартовой системе координат, где ось симметрии совпадает с осью абсцисс, а вершина расположена в начале координат, парабола задаётся каноническим уравнением:

y² = 2px,

где p — параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы. Фокус находится в точке (p/2; 0), директриса задаётся уравнением x = −p/2. Ось симметрии проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.

В общем виде уравнение кривой второго порядка Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 описывает параболу, когда дискриминант B² − 4AC равен нулю. Это отличает её от эллипса (дискриминант отрицателен) и гиперболы (дискриминант положителен).

¶Историческая справка

Конические сечения изучались ещё в Древней Греции. Менехм (IV век до н. э.) использовал параболу при решении задачи удвоения куба. Аполлоний Пергский в трактате «Конические сечения» дал развёрнутую классификацию и ввёл сам термин «парабола» (от греч. παραβολή — «приложение»), связанный с приложением площадей.

В XVII веке Галилео Галилей установил, что траектория тела, брошенного под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления воздуха представляет собой параболу. Рене Декарт и Пьер Ферма разработали аналитический метод описания кривых, а Исаак Ньютон связал форму параболы с законами движения и тяготения.

¶Свойства

Парабола обладает рядом характерных свойств:

• Симметрия. Кривая симметрична относительно оси, проходящей через фокус и вершину.
• Фокальное свойство. Луч, выходящий из фокуса, после отражения от параболы идёт параллельно её оси; и наоборот, пучок лучей, параллельных оси, собирается в фокусе.
• Эксцентриситет. Эксцентриситет параболы равен единице — это граничный случай между эллипсом (e < 1) и гиперболой (e > 1).
• Касательная. Касательная в произвольной точке делит угол между фокальным радиусом и перпендикуляром к директрисе пополам.
• Параметр. Величина p определяет «ширину» ветвей: чем больше p, тем более полога кривая.

¶Виды и формы записи

В зависимости от ориентации оси симметрии различают параболы с вертикальной и горизонтальной осью. Уравнение y = ax² + bx + c описывает параболу с вертикальной осью, где коэффициент a определяет направление ветвей: при a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Вершина такой параболы имеет координаты x = −b/(2a), y = c − b²/(4a).

Параметрическая форма записи: x = pt², y = 2pt. В полярных координатах при полюсе в фокусе уравнение имеет вид r = p/(1 + cos φ).

¶Применение

Благодаря фокальному свойству парабола широко применяется в технике:

• Антенны и телескопы. Параболические отражатели собирают параллельные лучи (радиоволны, свет) в фокусе, что используется в спутниковых антеннах, радиотелескопах и зеркальных телескопах-рефлекторах.
• Прожекторы и фары. Источник света, помещённый в фокус параболического зеркала, создаёт направленный параллельный пучок.
• Баллистика. Траектория снаряда или мяча в поле тяжести близка к параболе.
• Мосты и арки. Параболические арки применяются в строительстве благодаря равномерному распределению нагрузки.
• Математика. Парабола служит простейшей моделью квадратичной зависимости, используется при решении задач оптимизации и в численных методах.

¶Парабола в культуре и языке

Слово «парабола» вошло в ряд европейских языков также в значении иносказательного рассказа — притчи (например, евангельские параболы). В русском языке это значение закрепилось в форме «притча». В литературоведении параболой называют повествование с нравственным поучением, построенное на иносказании.

¶Связанные понятия

Парабола тесно связана с другими кривыми второго порядка. При вращении параболы вокруг своей оси образуется параболоид — поверхность, применяемая в зеркалах и антеннах. Квадратичная функция, графиком которой является парабола, — одна из базовых тем школьного курса алгебры. Дискриминант квадратного уравнения определяет число точек пересечения параболы с осью абсцисс.

Источники: учебники по аналитической геометрии, энциклопедические словари математических терминов, классические труды Аполлония Пергского и Р. Декарта.