Число пи¶

Число π (пи) — математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. Значение π иррационально и трансцендентно, то есть не может быть выражено конечной десятичной дробью и не является корнем многочлена с рациональными коэффициентами. В десятичной записи π ≈ 3,14159 26535 89793 23846… Начиная с XX века используется греческая буква π, введённая Уильямом Джонсом в 1706 году и популяризированная Леонардом Эйлером.

¶Определение и свойства

Для любой окружности отношение длины L к диаметру d одинаково: L/d = π. Это свойство является определяющим и не зависит от размера окружности. Число π можно также определить через интегралы и ряды, например:

π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … (ряд Лейбница)

π²/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … (риemannов ряд зета-функции при s = 2)

Ключевые свойства:

• Иррациональность доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году.
• Трансцендентность (неалгебраичность) доказана Фердинандом фон Линдеманом в 1882 году. Это следствие позволило решить древнюю проблему удвоения куба: при помощи циркуля и линейки построить число π невозможно.
• π является основой тригонометрии: период функций sin x и cos x равен 2π.

¶История вычислений

Древние цивилизации использовали приближения π задолго до появления современной математики. Вавилонские таблицы (около 1900—1600 до н. э.) давали значение около 3,125. Египетский папирус Ахмеса (около 1650 до н. э.) содержит приближение (16/9)² ≈ 3,1605. Китайский математик Лю Хуэй (III век н. э.) получил 3,1416 с помощью метода вписанных многоугольников, индийский учёный Ариабхата (V век) — 3,1416.

Архимед (около 250 г. до н. э.) впервые дал строгие границы: вписав окружность между многоугольники с 96 сторонами, он показал, что 223/71 < π < 22/7, то есть 3,1408 < π < 3,1429.

В XVI—XVIII веках применялись методы вписанных и описанных многоугольников, а затем рядовые разложения. Французский математик Франсуа Виет (1593) получил 9 правящих цифр, Джон Уоллис (1656) — ряд, названный его именем. Леонард Эйлер в 1737 году установил связь π с зета-функцией и простыми числами.

В XIX веке появились формулы, позволяющие вычислять цифры π быстрее. Уильям Шанкс в 1873 году вручную вычислил 707 знаков (позже обнаружилась ошибка на 527-м месте). В 2024 году рекорд, установленный проектом StorageReview на 105 триллионов знаков, был превзойдён: вычисления проводятся на суперкомпьютерах с использованием алгоритмов Чудновского и Бэйли—Борвейна—Плауффа.

¶Формулы и связи

π встречается в многочисленных формулах математики и физики:

• Формула площади круга: S = πR².
• Формула объёма шара: V = (4/3)πR³; площадь поверхности: A = 4πR².
• Гауссова интеграл: ∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π.
• Формула Стирлинга: n! ≈ √(2πn) (n/e)ⁿ.
• Формула Эйлера: e^(iπ) + 1 = 0, объединяющая пять фундаментальных констант.
• Формула Гаусса—Легандра — один из самых быстрых алгоритмов вычисления π.

¶Вычисление и применение

Современные алгоритмы позволяют вычислять миллиарды знаков π. Наиболее эффективны формулы Чудновского (аналог ряда Рамануджана) и алгоритм Бэйли—Борвейна—Плауффа (BBP), дающий возможность извлечь отдельные шестнадцатеричные цифры без вычисления предыдущих.

На практике точность в 15—16 знаков достаточно для большинства расчётов: например, вычисление окружности Земли с точностью до миллиметра требует около 10 знаков. Для астрономических и квантовых расчётов используются десятки знаков. Высокие разряды π применяются при тестировании производительности суперкомпьютеров и как источник псевдослучайных последовательностей.

¶Культурное значение

День числа π отмечается 14 марта (3.14 по американскому формату даты), совпадая с днём рождения Альберта Эйнштейна. В 2019 году Генеральная конференция по мерам и весам приняла резолюцию, рекомендующую использовать для определения метра точное значение 299 792 458 м/с скорости света, что косвенно закрепило роль π в системе СИ.

¶Исторические приближения π

¶Источники

• Борухович, З. Г. Число π в математике и в жизни. — М.: Наука.
• Позняк, Л. Г. Число π. — М.: Наука.
• Beckmann, P. A History of Pi. — St. Martin's Press.
• Chudnovsky, D. & G. Algorithms for the Evaluation of Polylogarithmic Constants.
• Bailey, D. H., Borwein, J. M., Plouffe, S. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants.