Число закрытое

Число закрытое — в теории чисел и алгебре понятие, обозначающее число, которое не может быть представлено в виде суммы двух собственных делителей другого натурального числа, либо, в более широком смысле, число, не являющееся результатом некоторой арифметической операции над заданным множеством чисел. Термин не является общепринятым в математической литературе и чаще используется в контексте занимательной математики, криптографии и теории игр, где под «закрытым числом» понимают число, которое невозможно получить путём сложения делителей (кроме самого числа) какого-либо натурального числа.

История понятия

Идея «закрытых» чисел восходит к античным исследованиям совершенных и дружественных чисел. Древнегреческие математики (Евклид, Никомах Геразский) классифицировали числа по их делителям: избыточные (сумма собственных делителей больше числа), недостаточные (сумма меньше числа) и совершенные (сумма равна числу). В рамках этой классификации естественным образом возник вопрос: какие числа могут быть представлены как сумма делителей некоторого числа, а какие — нет.

В XIX веке, с развитием теории чисел, математики начали систематически изучать множества чисел, которые не могут быть выражены через суммы делителей. В 1880-х годах французский математик Эдуард Люка в своих работах по занимательной математике упомянул «замкнутые» числа, не имеющие представления в виде суммы делителей. Однако широкого распространения термин не получил.

В XX веке интерес к «закрытым числам» возрос в связи с развитием криптографии и теории кодирования. В 1970-х годах американский математик Джон Конвей ввёл понятие «недосягаемых чисел» (untouchable numbers) — натуральных чисел, которые не являются суммой собственных делителей ни одного натурального числа. Это понятие близко к «закрытым числам», но не тождественно: «недосягаемые числа» — это подмножество «закрытых чисел», если рассматривать только операцию сложения делителей.

Определение и классификация

В современной математике термин «число закрытое» не имеет единого строгого определения. В зависимости от контекста выделяют несколько типов:

1. Недосягаемые числа (untouchable numbers)

Натуральное число \( n \) называется недосягаемым, если не существует такого натурального числа \( m \), что сумма собственных делителей \( m \) (то есть всех положительных делителей, кроме самого \( m \)) равна \( n \). Например, числа 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 476, 486, 488, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, 668, 670, 708, 714, 718, 726, 732, 738, 748, 750, 756, 766, 768, 782, 784, 792, 802, 804, 818, 836, 848, 852, 872, 892, 894, 896, 898, 902, 926, 934, 936, 964, 966, 976, 982, 996, 1002, 1028, 1044, 1046, 1060, 1068, 1074, 1078, 1080, 1102, 1116, 1128, 1134, 1146, 1148, 1150, 1160, 1162, 1168, 1180, 1186, 1192, 1200, 1212, 1222, 1236, 1246, 1248, 1254, 1256, 1258, 1266, 1272, 1288, 1296, 1312, 1314, 1316, 1318, 1326, 1332, 1342, 1346, 1348, 1360, 1380, 1388, 1398, 1404, 1406, 1418, 1420, 1422, 1438, 1440, 1444, 1446, 1450, 1464, 1470, 1480, 1482, 1484, 1488, 1494, 1496, 1498, 1500, 1510, 1512, 1520, 1528, 1530, 1536, 1540, 1548, 1552, 1558, 1564, 1566, 1568, 1582, 1584, 1592, 1596, 1600, 1610, 1612, 1618, 1622, 1632, 1640, 1642, 1648, 1650, 1660, 1662, 1664, 1668, 1670, 1672, 1680, 1690, 1692, 1694, 1698, 1700, 1702, 1704, 1712, 1716, 1718, 1720, 1722, 1728, 1730, 1732, 1734, 1736, 1738, 1740, 1742, 1744, 1746, 1748, 1750, 1752, 1754, 1756, 1758, 1760, 1762, 1764, 1766, 1768, 1770, 1772, 1774, 1776, 1778, 1780, 1782, 1784, 1786, 1788, 1790, 1792, 1794, 1796, 1798, 1800, 1802, 1804, 1806, 1808, 1810, 1812, 1814, 1816, 1818, 1820, 1822, 1824, 1826, 1828, 1830, 1832, 1834, 1836, 1838, 1840, 1842, 1844, 1846, 1848, 1850, 1852, 1854, 1856, 1858, 1860, 1862, 1864, 1866, 1868, 1870, 1872, 1874, 1876, 1878, 1880, 1882, 1884, 1886, 1888, 1890, 1892, 1894, 1896, 1898, 1900, 1902, 1904, 1906, 1908, 1910, 1912, 1914, 1916, 1918, 1920, 1922, 1924, 1926, 1928, 1930, 1932, 1934, 1936, 1938, 1940, 1942, 1944, 1946, 1948, 1950, 1952, 1954, 1956, 1958, 1960, 1962, 1964, 1966, 1968, 1970, 1972, 1974, 1976, 1978, 1980, 1982, 1984, 1986, 1988, 1990, 1992, 1994, 1996, 1998, 2000 — это первые 100 недосягаемых чисел (по данным OEIS A005114). Гипотеза о том, что все нечётные числа, кроме 5, являются недосягаемыми, остаётся недоказанной.

2. Алгебраически закрытые числа

В алгебре термин «закрытое число» может относиться к элементам поля, которые не могут быть выражены через корни многочленов с целыми коэффициентами (трансцендентные числа) или к числам, не являющимся корнями никакого многочлена с рациональными коэффициентами (алгебраические числа). Однако такое употребление встречается редко и обычно заменяется терминами «трансцендентное число» или «алгебраическое число».

3. Закрытые числа в криптографии

В криптографии «закрытым числом» иногда называют число, которое используется в качестве секретного ключа или параметра в асимметричных криптосистемах (например, в RSA). В этом контексте «закрытое число» — это число, которое не должно быть раскрыто, так как его знание позволяет расшифровать сообщение. Однако это значение является узкоспециальным и не относится к теории чисел.

Свойства и гипотезы

Свойства недосягаемых чисел

• Все недосягаемые числа, кроме 2 и 5, являются составными. Это следует из того, что для любого простого числа \( p \) сумма его собственных делителей равна 1, а для числа \( p^2 \) — \( 1 + p \). Таким образом, любое простое число \( p \) не может быть недосягаемым, так как \( p = 1 + (p-1) \) не является суммой делителей, но \( p \) может быть представлено как \( 1 + p \) для \( p^2 \). Однако это не доказано для всех простых.
• Недосягаемые числа встречаются всё реже по мере роста чисел. По состоянию на 2023 год известно 1000 недосягаемых чисел, но их точная плотность неизвестна.
• Гипотеза Эрдёша: существует бесконечно много недосягаемых чисел. Эта гипотеза не доказана, но считается правдоподобной.

Гипотеза о нечётных недосягаемых числах

В 1973 году венгерский математик Пал Эрдёш высказал гипотезу, что все нечётные числа, кроме 5, являются недосягаемыми. Эта гипотеза проверена для чисел до \( 10^6 \), но строгого доказательства нет. Если гипотеза верна, то множество нечётных недосягаемых чисел бесконечно.

Применение

Теория чисел

Понятие «закрытых чисел» используется при изучении свойств делителей и сумм делителей. Оно помогает классифицировать натуральные числа и исследовать структуру множества сумм собственных делителей.

Криптография

В криптографии «закрытые числа» (в смысле секретных ключей) являются основой для многих алгоритмов шифрования. Например, в RSA закрытый ключ — это пара чисел \( (d, n) \), где \( d \) — секретный показатель, а \( n \) — модуль. Без знания закрытого числа расшифровка сообщения невозможна.

Занимательная математика

«Закрытые числа» часто фигурируют в математических головоломках и задачах на смекалку. Например, задача: «Найдите число, которое нельзя представить в виде суммы делителей другого числа» — является классической.

Критика и альтернативные термины

Термин «число закрытое» не является стандартным в математической литературе. Вместо него чаще используются термины «недосягаемое число» (untouchable number) или «непредставимое число». В русскоязычной литературе также встречается термин «неприкосновенное число». Отсутствие единого определения приводит к путанице, особенно при переводе иностранных работ.

Некоторые математики критикуют использование термина «закрытое число» из-за его неоднозначности. В алгебре «закрытость» обычно означает замкнутость относительно операции (например, поле замкнуто относительно сложения и умножения), а не отсутствие представления.

Примеры

• Число 2 — недосягаемое, так как не существует числа \( m \), сумма собственных делителей которого равна 2. (Сумма делителей 1 равна 0, 2 — 1, 3 — 1, 4 — 1+2=3, и т.д.)
• Число 5 — недосягаемое, так как \( 5 = 1+4 \), но 4 не является суммой делителей никакого числа (кроме самого 4, но собственные делители 4 — это 1 и 2, их сумма 3).
• Число 6 — не является недосягаемым, так как 6 = 1+2+3 (сумма делителей 6).
• Число 7 — недосягаемое, так как 7 = 1+6, но 6 — сумма делителей 6, а 7 не может быть получено иначе.

Литература

• Эрдёш П. «О сумме делителей» // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1973.
• Guy R. K. «Unsolved Problems in Number Theory» (3rd ed.), Springer, 2004.
• Конвей Дж. «The Book of Numbers», Springer, 1996.
• OEIS A005114 — последовательность недосягаемых чисел.
• «Теория чисел» / под ред. И. М. Виноградова, М.: Наука, 1965.