Трансцендентные числа и их свойства¶

Трансцендентные числа — это действительные или комплексные числа, которые не являются алгебраическими, то есть не могут быть корнем ни одного многочлена с целыми (или рациональными) коэффициентами, отличного от нулевого. Иными словами, для трансцендентного числа не существует алгебраического уравнения вида \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0\) с целыми коэффициентами, которому бы оно удовлетворяло. Трансцендентные числа образуют подмножество иррациональных чисел, однако не все иррациональные числа являются трансцендентными (например, \(\sqrt{2}\) — иррационально, но алгебраично).

¶История открытия

Понятие трансцендентного числа восходит к работам Леонарда Эйлера в XVIII веке, который высказал гипотезу о существовании чисел, не являющихся корнями алгебраических уравнений. Однако строгое доказательство их существования было дано лишь в 1844 году французским математиком Жозефом Лиувиллем. Он построил первый явный пример такого числа (так называемая постоянная Лиувилля: \(\sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!}\)), а также разработал критерий, позволяющий устанавливать трансцендентность некоторых рядов.

Важнейший прорыв совершил Шарль Эрмит в 1873 году, доказавший трансцендентность основания натурального логарифма \(e\). В 1882 году Фердинанд Линдеманн, опираясь на методы Эрмита, доказал трансцендентность числа \(\pi\). Это доказательство окончательно разрешило древнюю проблему квадратуры круга, показав невозможность построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого данному кругу.

Дальнейшее развитие теории связано с именем Давида Гильберта, который в 1900 году включил в свой список проблем вопрос о трансцендентности чисел вида \(a^b\) для алгебраических \(a \ne 0,1\) и алгебраических иррациональных \(b\). Эта проблема была решена в 1934 году независимо Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером (теорема Гельфонда — Шнайдера).

¶Свойства трансцендентных чисел

¶Мощность множества

Множество алгебраических чисел счётно, поскольку счётно множество всех многочленов с целыми коэффициентами и множество их корней. Множество всех действительных чисел несчётно (континуально). Следовательно, множество трансцендентных чисел также несчётно и имеет мощность континуума. Таким образом, трансцендентных чисел «значительно больше», чем алгебраических, хотя доказать трансцендентность конкретного числа часто бывает крайне сложно.

¶Арифметические свойства

• Сумма, разность, произведение и частное трансцендентного числа и алгебраического числа (при условии, что операция корректна и знаменатель не равен нулю) всегда являются трансцендентными числами.
• Результат операций между двумя трансцендентными числами заранее не определён: он может быть как трансцендентным, так и алгебраическим. Например, \(\pi + (-\pi) = 0\) — алгебраическое число, а \(\pi \cdot e\) — трансцендентность не доказана (открытая проблема).
• Если \(a\) — алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а \(b\) — алгебраическое иррациональное число, то \(a^b\) трансцендентно (теорема Гельфонда — Шнайдера). Например, \(2^{\sqrt{2}}\) трансцендентно.

¶Мера иррациональности

Для трансцендентных чисел характерна очень высокая скорость приближения рациональными дробями. Лиувилль показал, что если число является алгебраическим степени \(n\), то оно не может быть приближено рациональными дробями \(p/q\) точнее, чем \(1/q^{n+\varepsilon}\) для достаточно больших \(q\). Трансцендентные числа, такие как постоянная Лиувилля, допускают приближение с точностью, превышающей эту границу для любой конечной степени \(n\). Это свойство стало основой первого критерия трансцендентности.

¶Примеры трансцендентных чисел

• Число \(\pi\) (отношение длины окружности к диаметру) — трансцендентность доказана Линдеманном.
• Число \(e\) (основание натурального логарифма) — трансцендентность доказана Эрмитом.
• Постоянная Лиувилля \(\sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!}\) — первый исторический пример, сконструированный искусственно.
• Число \(e^{\pi}\) — трансцендентность следует из теоремы Гельфонда — Шнайдера, так как \(e^{\pi} = i^{-2i}\) (где \(i\) — мнимая единица).
• Значения дзета-функции Римана \(\zeta(2n+1)\) для нечётных аргументов — трансцендентность доказана для \(\zeta(3)\) (теорема Апери, 1978), для остальных — открытый вопрос.

¶Применение

Трансцендентные числа играют фундаментальную роль в теории чисел и математическом анализе. Они используются при доказательстве неразрешимости геометрических задач на построение (квадратура круга), в криптографии (генерация случайных последовательностей на основе иррациональных и трансцендентных констант), а также в численных методах для тестирования точности вычислений с плавающей запятой. В физике и инженерных расчётах константы \(\pi\) и \(e\) повсеместно применяются в формулах, описывающих колебания, волны, рост и затухание процессов.

¶Нерешённые проблемы

Несмотря на значительные успехи, многие вопросы остаются открытыми. В частности, не доказана трансцендентность таких чисел, как \(e + \pi\), \(e \cdot \pi\), \(\pi^e\), а также значений дзета-функции в нечётных точках, начиная с \(\zeta(5)\). Неизвестно, является ли \(e\) алгебраически независимым от \(\pi\), хотя гипотеза об их алгебраической независимости является одной из центральных в современной теории трансцендентных чисел.

¶Источники

• Фельдман Н. И. «Седьмая проблема Гильберта».
• Шидловский А. Б. «Трансцендентные числа».
• Бейкер А. «Трансцендентные числа».