Делимость на 48 трёхзначных чисел¶
Делимость на 48 — свойство целого числа быть кратным 48, то есть делиться на 48 без остатка. Задача о вероятности того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 48, решается элементарными средствами теории вероятностей и арифметики: требуется найти количество трёхзначных кратных 48 и разделить его на общее число трёхзначных чисел.
¶Трёхзначные числа
Трёхзначными называются натуральные числа от 100 до 999 включительно. Их общее количество вычисляется как разность 999 − 100 + 1 = 900. Таким образом, множество всех трёхзначных чисел содержит 900 элементов, и при равновероятном выборе вероятность каждого из них равна 1/900.
¶Кратные 48 в трёхзначном диапазоне
Наименьшее трёхзначное число, кратное 48, находится делением: 100 ÷ 48 ≈ 2,08, значит первым подходящим множителем является 3, и наименьшее кратное равно 48 × 3 = 144. Наибольшее трёхзначное кратное определяется так: 999 ÷ 48 ≈ 20,8, поэтому наибольший множитель равен 20, а само число — 48 × 20 = 960.
Числа 144, 192, 240, …, 960 образуют арифметическую прогрессию с первым членом 144, разностью 48 и последним членом 960. Количество членов прогрессии:
n = (960 − 144) / 48 + 1 = 816 / 48 + 1 = 17 + 1 = 18.
Итак, среди трёхзначных чисел ровно 18 кратных 48.
¶Вычисление вероятности
По классическому определению вероятности (Лаплас) вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов:
P = 18 / 900 = 1 / 50 = 0,02.
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 48, равна 1/50, или 2 %, или 0,02.
¶Связанные задачи
¶Делимость на 45
Число 45 = 9 × 5. Трёхзначное число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 9 и на 5. Наименьшее трёхзначное кратное 45 — 135, наибольшее — 990. Кратных: (990 − 135)/45 + 1 = 855/45 + 1 = 19 + 1 = 20. Вероятность равна 20/900 = 1/45 ≈ 0,0222.
¶Делимость на 40
Наименьшее трёхзначное кратное 40 — 120, наибольшее — 960. Кратных: (960 − 120)/40 + 1 = 21 + 1 = 22. Вероятность равна 22/900 = 11/450 ≈ 0,0244.
¶Делимость на 50
Наименьшее трёхзначное кратное 50 — 100, наибольшее — 950. Кратных: (950 − 100)/50 + 1 = 17 + 1 = 18. Вероятность равна 18/900 = 1/50 = 0,02 — совпадает с вероятностью делимости на 48.
¶Делимость на 44
Наименьшее трёхзначное кратное 44 — 132, наибольшее — 968. Кратных: (968 − 132)/44 + 1 = 836/44 + 1 = 19 + 1 = 20. Вероятность равна 20/900 = 1/45 ≈ 0,0222.
¶Общий метод
Для произвольного натурального делителя m задача решается по единой схеме:
- Найти наименьшее трёхзначное кратное m: k₁ = ⌈100/m⌉ · m, где ⌈·⌉ — функция округления вверх.
- Найти наибольшее трёхзначное kратное m: k₂ = ⌊999/m⌋ · m, где ⌊·⌋ — функция округления вниз.
- Если k₁ > 999, кратных трёхзначных нет, вероятность равна нулю.
- Иначе число кратных равно (k₂ − k₁)/m + 1, а вероятность — это отношение к 900.
Для m = 48: k₁ = 3 · 48 = 144, k₂ = 20 · 48 = 960, число кратных 18, вероятность 18/900 = 1/50.
¶Структурный подход
Иногда делимость на 48 проверяют через разложение: 48 = 16 × 3. Трёхзначное число делится на 48 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 16 и на 3 (числа 16 и 3 взаимно просты, поэтому применима китайская теорема об остатках). Делимость на 3 проверяется по правилу суммы цифр; делимость на 16 — по последним четырём цифрам, что для трёхзначного числа сводится к проверке самого числа. Этот подход полезен, когда требуется перебрать числа вручную, но для подсчёта вероятности проще использовать формулу арифметической прогрессии.
¶Применение
Задачи такого типа входят в школьный курс математики (раздел «Вероятность») и в задания ЕГЭ по профильной математике, где требуется вычислить вероятность события на множестве целых чисел. Методика демонстрирует связь арифметики (делимость, арифметические прогрессии) и элементарной теории вероятностей (классическое определение Лапласа).
Источники:
- Колягин Г. Б. «Математика. 7 класс» (учебник для общеобразовательных учреждений)
- Ладыженская Т. А. и др. «Математика. 9 класс» (задачи на делимость и вероятность)
- Виленкин Н. Я., Жохов В. И. «Математика. 6 класс» (арифметические прогрессии)
- Руководство по подготовке к ЕГЭ по математике (профильный уровень), раздел «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»
- Энциклопедический словарь юного математика