Дискретный сигнал: определение и свойства¶

Дискретный сигнал — это сигнал, значения которого определены не во все моменты времени, а лишь в дискретные (раздельные) моменты, называемые моментами дискретизации. Дискретный сигнал является основным объектом обработки в цифровых системах связи, управления и вычислительной технике, поскольку ЭВМ оперируют не непрерывными функциями, а последовательностями чисел.

¶Определение и математическая модель

В теории сигналов различают три класса сигналов:

• Непрерывный (аналоговый) — определён во всех точках непрерывного промежутка времени и принимает произвольные значения из непрерывного множества.
• Дискретный по времени — определён только в моменты t₀, t₁, t₂, …, но в каждом из этих моментов может принимать любое значение из непрерывного множества.
• Цифровой (квантованный по уровню) — определён в дискретные моменты времени и принимает значения из конечного набора уровней.

Дискретный сигнал математически описывается последовательностью x(tₖ), где tₖ = k·T, k = 0, 1, 2, …, а T — период дискретизации. Иногда в качестве независимой переменной используется сразу номер отсчёта k, тогда сигнал представляют в виде x[k] или последовательности {xₖ}. Часто дискретный сигнал называют отсчётами непрерывного сигнала.

¶Получение дискретного сигнала

Дискретный сигнал получают из непрерывного с помощью процесса, называемого дискретизацией (по времени) и квантованием (по уровню). Аппаратно это реализуется аналого-цифровым преобразователем (АЦП), который в заданные моменты измеряет мгновенное значение аналогового сигнала и преобразует его в число.

Ключевую роль при дискретизации играет теорема Котельникова (теорема о полосе), сформулированная советским учёным В. А. Котельниковым в 1933 году. Согласно теореме, непрерывный сигнал с ограниченной спектральной составляющей f_max может быть полностью восстановлен по своим отсчётам, если частота дискретизации f_d = 1/T удовлетворяет условию:

f_d ≥ 2·f_max

Величина f_Н = f_max называется частотой Найквиста (частотой среза), а условие f_d ≥ 2·f_Н — критерием Найквиста (критерием Котельникова). Если частота дискретизации меньше удвоенной максимальной частоты спектра, возникает эффект алиасинга (наложения спектров) — искажения, при которых высокочастотные компоненты сигнала «маскируются» под низкочастотные и восстановить исходный сигнал становится невозможно.

¶Свойства дискретных сигналов

Дискретные сигналы обладают набором операций, аналогичных операциям над непрерывными сигналами, но адаптированных к дискретной природе:

• Сложение и умножение на число — поэлементные операции над последовательностями.
• Сдвиг по времени — x[k − n], что соответствует задержке сигнала на n отсчётов.
• Свёртка — дискретная свёртка (x * h)[k] = Σ x[m]·h[k − m], описывающая прохождение сигнала через линейную систему с импульсной характеристикой h[k].
• Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — переход от последовательности во времени к её спектру в частотной области; является основой спектрального анализа дискретных сигналов.
• Z-преобразование — обобщение преобразования Лапласа для дискретных сигналов, используемое при анализе цифровых фильтров.

¶Спектр дискретного сигнала

Спектр непрерывного периодического сигнала — дискретный набор линий. Спектр же дискретного сигнала, наоборот, является непрерывной периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации f_d. Это свойство — прямое следствие теоремы о взаимосвязи дискретизации во времени и периодичности в частотной области. Именно поэтому при цифровой обработке спектральные оценки вычисляют с помощью ДПФ, которое даёт конечное число значений спектра.

¶Применение

Дискретные сигналы являются основой:

• Цифровой обработки сигналов (ЦОС) — фильтрация, сжатие, распознавание речи и изображений.
• Цифровой связи — передача дискретных последовательностей по каналам с помехами (модуляция, кодирование).
• Систем автоматического управления — цифровые регуляторы, работающие с отсчётами управляющих воздействий.
• Компьютерной графики и звука — цифровое аудио (например, стандарт CD использует частоту дискретизации 44,1 кГц), цифровое видео.
• Медицинской техники — электрокардиография (ЭКГ), электроэнцефалография (ЭГГ), ультразвуковая диагностика.

¶Преимущества дискретных сигналов

По сравнению с аналоговыми, дискретные сигналы обладают рядом существенных достоинств:

• Устойчивость к помехам: искажения отсчётов, не превышающие порога квантования, не накапливаются при многократной передаче и обработке.
• Возможность хранения на цифровых носителях без деградации.
• Простота реализации сложных алгоритмов обработки на цифровых процессорах.
• Возможность шифрования и защиты информации.
• Лёгкость тиражирования и точного воспроизведения.

¶Недостатки

К основным недостаткам дискретных сигналов относятся:

• Потеря информации при дискретизации, если не выполняется критерий Котельникова (эффект алиасинга).
• Ошибки квантования, вносимые АЦП.
• Необходимость предварительной фильтрации аналогового сигнала (антиалиасинговым фильтром) перед дискретизацией.
• Ограниченная разрядность представления отсчётов, приводящая к конечной точности вычислений.

¶Историческая справка

Основы теории дискретных сигналов были заложены в работах В. А. Котельникова (1933), К. Шеннона (1948) и Е. И. Золотарёва. В СССР теория дискретных сигналов активно развивалась в 1950–1970-е годы в связи с созданием систем цифровой связи и автоматического управления.

Источники:

• Котельников В. А. «О передаче телеграфных сообщений по электрическим цепям» (1933)
• Оппенхем А., Шафер Р. «Цифровая обработка сигналов»
• Хайкин С. «Цифровая обработка сигналов: полный курс»
• Золотарёв Е. И., Скитович В. В. «Лекции по теории сигналов»
• Шеннон К. «Математическая теория связи»