Дискриминант кубического многочлена

Дискриминант кубического многочлена — это алгебраическая величина, вычисляемая по коэффициентам кубического многочлена, которая позволяет определить наличие и кратность его корней, не находя их явно. Для многочлена общего вида \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) (где \( a \neq 0 \)) дискриминант представляет собой однородный многочлен степени 4 от коэффициентов \( a, b, c, d \). В отличие от квадратичного случая, где дискриминант даёт полную информацию о количестве вещественных корней, для кубического многочлена его знак указывает на тип корней: если дискриминант положителен, многочлен имеет три различных вещественных корня; если равен нулю — имеется кратный корень (двойной или тройной); если отрицателен — один вещественный и два комплексно-сопряжённых корня.

Определение и формула

Дискриминант кубического многочлена \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) обозначается символом \( \Delta \) и может быть выражен через его коэффициенты. Стандартная формула имеет вид:

\[ \Delta = b^2 c^2 - 4 a c^3 - 4 b^3 d - 27 a^2 d^2 + 18 a b c d. \]

Эта формула симметрична относительно перестановок корней и является результатом вычисления дискриминанта как произведения квадратов разностей корней многочлена. Для приведённого кубического многочлена \( x^3 + px + q \) (то есть при \( a = 1, b = 0 \)) дискриминант упрощается до:

\[ \Delta = -4 p^3 - 27 q^2. \]

Часто в литературе встречается альтернативная форма записи через дискриминант, делённый на \( a^4 \), что даёт нормированное значение для многочлена со старшим коэффициентом, равным единице.

Связь с корнями многочлена

Пусть \( r_1, r_2, r_3 \) — корни кубического многочлена \( f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) \). Тогда дискриминант определяется как:

\[ \Delta = a^4 (r_1 - r_2)^2 (r_1 - r_3)^2 (r_2 - r_3)^2. \]

Из этого определения непосредственно следуют свойства:

• Положительный дискриминант (\( \Delta > 0 \)): все три корня вещественны и различны. Квадраты разностей корней положительны, поэтому произведение положительно.
• Нулевой дискриминант (\( \Delta = 0 \)): хотя бы два корня совпадают. Разность между ними равна нулю, что обнуляет произведение.
• Отрицательный дискриминант (\( \Delta < 0 \)): один корень вещественный, два других — комплексно-сопряжённые. В этом случае одна из разностей корней является чисто мнимой, её квадрат отрицателен, что даёт отрицательное произведение.

Классификация случаев

Три различных вещественных корня

При \( \Delta > 0 \) кубический многочлен имеет три различных вещественных корня. Это возможно, если многочлен имеет локальный максимум и минимум, значения которых противоположны по знаку. График функции пересекает ось абсцисс в трёх точках.

Кратные корни

При \( \Delta = 0 \) многочлен имеет кратный корень. Возможны два подслучая:

• Двойной корень: многочлен имеет один двойной и один простой корень. Это происходит, когда дискриминант равен нулю, но не все корни совпадают. Например, многочлен \( x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2 (x+2) \) имеет двойной корень \( x = 1 \).
• Тройной корень: все три корня равны. Это возможно только для многочлена вида \( a(x - r)^3 \), что накладывает жёсткие условия на коэффициенты: \( b = 3ar, c = 3ar^2, d = ar^3 \). В этом случае дискриминант также равен нулю, но дополнительно обращаются в нуль все частные производные дискриминанта.

Один вещественный и два комплексных корня

При \( \Delta < 0 \) многочлен имеет один вещественный корень и два комплексно-сопряжённых. График функции пересекает ось абсцисс ровно один раз. Это наиболее распространённый случай для кубических многочленов с вещественными коэффициентами.

Вычисление дискриминанта

Через коэффициенты

Для многочлена общего вида \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) дискриминант вычисляется по формуле, приведённой выше. Пример: для многочлена \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) (корни 1, 2, 3) коэффициенты: \( a=1, b=-6, c=11, d=-6 \). Подстановка даёт: \[ \Delta = (-6)^2 \cdot 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11^3 - 4 \cdot (-6)^3 \cdot (-6) - 27 \cdot 1^2 \cdot (-6)^2 + 18 \cdot 1 \cdot (-6) \cdot 11 \cdot (-6) = 4356 - 5324 - 5184 - 972 + 7128 = 4. \] Положительное значение подтверждает три различных вещественных корня.

Через результант

Дискриминант многочлена \( f \) может быть выражен через результант \( R(f, f') \) многочлена и его производной: \[ \Delta = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a} R(f, f'), \] где \( n = 3 \) — степень многочлена. Для кубического многочлена это даёт: \[ \Delta = -\frac{1}{a} R(f, f'). \] Результант \( R(f, f') \) равен определителю матрицы Сильвестра размером \( 5 \times 5 \), составленной из коэффициентов \( f \) и \( f' \). Этот метод удобен для программной реализации, но громоздок для ручного счёта.

Применение в алгебре и геометрии

Решение кубических уравнений

Дискриминант используется в формуле Кардано для решения кубических уравнений. Приведённое уравнение \( x^3 + px + q = 0 \) решается через кубические корни из комплексных чисел. Дискриминант \( \Delta = -4p^3 - 27q^2 \) определяет, является ли решение вещественным или комплексным:

• При \( \Delta > 0 \) (casus irreducibilis) все три корня вещественны, но выражаются через кубические корни из комплексных чисел.
• При \( \Delta = 0 \) корни выражаются через арифметические корни.
• При \( \Delta < 0 \) один вещественный корень выражается через кубические корни из вещественных чисел.

Эллиптические кривые

В теории эллиптических кривых дискриминант кубического многочлена \( y^2 = x^3 + ax + b \) определяет, является ли кривая неособой. Для эллиптической кривой в форме Вейерштрасса дискриминант \( \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \) должен быть ненулевым. Если \( \Delta = 0 \), кривая имеет особую точку (касп или узел) и не является эллиптической в строгом смысле.

Геометрическая интерпретация

Дискриминант кубического многочлена связан с площадью треугольника, образованного корнями на комплексной плоскости. Для трёх комплексных чисел \( r_1, r_2, r_3 \) величина \( |\Delta|^{1/2} / a^2 \) пропорциональна площади треугольника с вершинами в этих точках. Это свойство используется в комплексном анализе и теории чисел.

Примеры

Пример 1: Многочлен с тремя вещественными корнями

\( f(x) = x^3 - 3x + 1 \). Коэффициенты: \( a=1, b=0, c=-3, d=1 \). Дискриминант: \[ \Delta = 0^2 \cdot (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)^3 - 4 \cdot 0^3 \cdot 1 - 27 \cdot 1^2 \cdot 1^2 + 18 \cdot 1 \cdot 0 \cdot (-3) \cdot 1 = 0 + 108 - 0 - 27 + 0 = 81 > 0. \] Многочлен имеет три различных вещественных корня, которые приближённо равны \( -1.879, 0.347, 1.532 \).

Пример 2: Многочлен с двойным корнем

\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Коэффициенты: \( a=1, b=0, c=-3, d=2 \). Дискриминант: \[ \Delta = 0 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) - 0 - 27 \cdot 1 \cdot 4 + 0 = 108 - 108 = 0. \] Многочлен имеет двойной корень \( x = 1 \) и простой корень \( x = -2 \).

Пример 3: Многочлен с одним вещественным корнем

\( f(x) = x^3 + x + 1 \). Коэффициенты: \( a=1, b=0, c=1, d=1 \). Дискриминант: \[ \Delta = 0 - 4 \cdot 1 \cdot 1^3 - 0 - 27 \cdot 1^2 \cdot 1^2 + 0 = -4 - 27 = -31 < 0. \] Многочлен имеет один вещественный корень (приближённо \( -0.682 \)) и два комплексно-сопряжённых.

Интересные факты

• Дискриминант кубического многочлена является однородным многочленом степени 4 от коэффициентов и степени 6 от корней (с учётом старшего коэффициента).
• В случае, когда многочлен имеет кратный корень, дискриминант обращается в нуль, но обратное неверно: существуют многочлены с нулевым дискриминантом, не имеющие кратных корней, если рассматривать многочлены над полями характеристики 2 или 3.
• Термин «дискриминант» ввёл английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр в 1851 году, хотя сам дискриминант кубического уравнения был известен ещё итальянским алгебраистам XVI века (Сципион дель Ферро, Никколо Тарталья, Джероламо Кардано).

Источники

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 2003.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Weisstein, Eric W. "Discriminant." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.