Доказательство — понятие логики и права¶

Доказательство — это логическая процедура установления истинности какого-либо утверждения (тезиса) с помощью других утверждений, истинность которых уже установлена или принимается без доказательства. Понятие доказательства центрально для логики, математики, юриспруденции, естественных наук и философии, хотя конкретные требования к допустимым доказательствам в этих областях существенно различаются.

¶Структура доказательства

Классическое доказательство включает три элемента:

• Тезис — утверждение, истинность которого требуется установить.
• Основания (аргументы) — утверждения, из которых выводится тезис. В математике это аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы; в естественных науках — эмпирические данные и проверенные законы; в праве — нормы закона и фактические обстоятельства дела.
• Логическая форма (умозаключение) — способ перехода от оснований к тезису, который должен быть корректным, то есть сохранять истинность при переходе от посылок к выводу.

Простейший тип доказательства — силлогизм: из двух посылок («все люди смертны», «Сократ — человек») выводится заключение («Сократ смертен»). Более сложные формы включают цепочки умозаключений, в которых вывод одного силлогизма служит посылкой следующего.

¶Основные методы доказательства

¶Прямое доказательство

Тезис выводится непосредственно из оснований по правилам логики. Это наиболее распространённый метод: из данных условий последовательно выводятся промежуточные утверждения, пока не будет получен тезис.

¶Косвенное доказательство (редукция к абсурду)

Предполагается, что тезис ложен, и из этого предположения с помощью логических выводов получается противоречие с уже известным истинным утверждением. Поскольку противоречие недопустимо, исходное предположение отвергается, и тезис признаётся истинным. Метод широко применяется в математике — например, классическое доказательство Евклида о бесконечности числа простых чисел построено именно так.

¶Метод математической индукции

Применяется для утверждений, зависящих от натурального числа. Показывается, что утверждение верно для некоторого начального значения (обычно 1), а затем — что из его истинности для произвольного числа n следует истинность для n+1. На основании аксиом индукции делается вывод о всеобщей истинности утверждения.

¶Разделение случаев

Тезис доказывается поочерёдно для всех возможных случаев, при этом перечень случаев должен быть полным, а сами случаи — взаимоисключающими.

¶Доказательство в математике

Математика предъявляет к доказательствам наиболее строгие требования. Согласно формальному подходу, доказательство — это конечная последовательность формул, каждая из которых является аксиомой, предположением или следует из предыдущих по правилам вывода. Истинность тезиса обеспечивается исключительно формальной корректностью, а не интуицией или примерами.

Важнейшие критерии математического доказательства: строгость, конечность, проверяемость. Теорема Гёделя о неполноте (1931) показала, что в любой достаточно мощной формальной системе существуют истинные утверждения, недоказуемые внутри этой системы, — что ограничивает область применимости формального подхода.

¶Доказательство в праве

В юриспруденции доказательство имеет двойственную природу: с одной стороны, это сведения о фактах (свидетельские показания, документы, заключения экспертов), с другой — процесс логического установления связи между фактами и правовыми выводами. В российском процессуальном праве доказательства подразделяются на прямые и косвенные, а также на первоначальные и производные.

Оценка допустимости доказательств в праве подчиняется не только логическим, но и правовым критериям: доказательство, полученное с нарушением закона, может быть признано недопустимым независимо от его логической силы.

¶Критика и проблематика

Философская традиция содержит глубокую критику самой идеи доказательства. Скептики античности (Пиррон, Секст Эмпирик) указывали на «агриппову трилемму»: любое доказательство либо бесконечно восходит к новым основаниям, либо циклично, либо произвольно останавливается на недоказанных посылках. Дэвид Юм показал проблему индукции: обоснование индуктивных доказательств само требует индукции, что создаёт порочный круг.

В математике XX века развернулась полемика между формалистами, интуиционистами и конструктивистами относительно допустимых методов доказательства. Интуиционисты, следуя идее Лёйтсена Брауэра, отвергают закон исключённого третьего и, следовательно, некоторые косвенные доказательства, требуя от каждого доказательства быть конструктивным — то есть содержать явный способ построения объекта, существование которого утверждается.

¶История

Понятие доказательства было сформулировано в античной математике и философии. «Начала» Евклида (около 300 года до н. э.) представили образец аксиоматического доказательства, оказавший влияние на всю последующую научную традицию. Аристотель в «Аналитиках» разработал теорию силлогизма как универсального инструмента дедуктивного доказательства. В XX веке работы Готлоба Фреге, Давида Гильберта и Курта Гёделя привели к создании математической логики и формальной теории доказательств.

¶Источники

• Аристотель. Аналитики.
• Евклид. Начала.
• Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей.
• Гёдель К. О неполоте формальных систем.
• Секст Эмпирик. Пирроновые изложения.
• Курс логики под редакцией Н. И. Кондакова.