Двойной интеграл¶
Двойной интеграл — обобщение понятия определённого интеграла на функции двух переменных; математический объект, представляющий собой предел суммы произведений значений функции на площади элементарных областей плоской области интегрирования. Двойной интеграл является основным инструментом вычисления площадей, объёмов, масс, центров тяжести и других физических и геометрических характеристик двумерных объектов.
¶Определение
Пусть $f(x, y)$ — непрерывная функция двух вещественных переменных, заданная на ограниченной области $D$ плоскости $Oxy$. Двойным интегралом функции $f$ по области $D$ называется предел
$$\iint_D f(x, y)\, d\sigma = \lim_{\max \Delta\sigma_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i,$$
где область $D$ разбивается на $n$ элементарных подобластей с площадями $\Delta\sigma_i$, а точки $(\xi_i, \eta_i)$ выбираются произвольным образом внутри $i$-й подобласти. Если предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек, говорят, что функция $f$ интегрируема по области $D$.
При $f(x, y) \equiv 1$ двойной интеграл равен площади области $D$. При неотрицательной функции $f$ интеграл геометрически интерпретируется как объём цилиндрического тела, основанием которого служит область $D$, а высотой — поверхность $z = f(x, y)$.
¶Свойства
Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам интеграла неопределённого:
- Линейность: $\iint_D (\alpha f + \beta g)\, d\sigma = \alpha \iint_D f\, d\sigma + \beta \iint_D g\, d\sigma$ для любых констант $\alpha, \beta$.
- Аддитивность по области: если область $D$ разбивается на непересекающиеся подобласти $D_1$ и $D_2$, то $\iint_D f\, d\sigma = \iint_{D_1} f\, d\sigma + \iint_{D_2} f\, d\sigma$.
- Оценка по модулю: если $m \le f(x, y) \le M$ на $D$, то $m \cdot S(D) \le \iint_D f\, d\sigma \le M \cdot S(D)$, где $S(D)$ — площадь области.
- Среднее значение: существует точка $(\xi, \eta) \in D$, такая что $\iint_D f\, d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot S(D)$.
¶Вычисление
¶Итерированные интегралы
Основной метод вычисления двойного интеграла — сведение к последовательному (итерированному) интегрированию. Если область $D$ имеет вид $D = \{(x, y) : a \le x \le b,\; \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)\}$, то по формуле Фубини
$$\iint_D f(x, y)\, dx\, dy = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\, dy.$$
Аналогично, для области вида $D = \{(x, y) : c \le y \le d,\; \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y)\}$:
$$\iint_D f(x, y)\, dx\, dy = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)\, dx.$$
Порядок интегрирования при этом может быть выбран двумя способами, и в ряде случаев один из них существенно проще другого.
¶Замена переменных
При замене переменных $(x, y) \to (u, v)$ через соотношения $x = x(u, v)$, $y = y(u, v)$ двойной интеграл преобразуется по формуле
$$\iint_D f(x, y)\, dx\, dy = \iint_{D'} f\bigl(x(u,v),\, y(u,v)\bigr)\, |J(u, v)|\, du\, dv,$$
где $J(u, v) = \dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ — якобиан преобразования, а $D'$ — образ области $D$ при этом преобразовании.
Частным и наиболее распространённым случаем является переход к полярным координатам $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$, при котором $|J| = r$:
$$\iint_D f(x, y)\, dx\, dy = \iint_{D'} f(r\cos\varphi,\, r\sin\varphi)\, r\, dr\, d\varphi.$$
Полярные координаты удобны для областей, ограниченных окружностями или лучами, а также для функций, содержащих выражения вида $x^2 + y^2$.
¶Обобщения
Двойной интеграл естественно обобщается на функции большего числа переменных: для трёх переменных определяется тройной интеграл, используемый для вычисления объёмов тел и масс трёхмерных тел. Обобщение на произвольное число переменных называется кратным интегралом.
Понятие двойного интеграла тесно связано с криволинейным интегралом через формулу Грина, устанавливающую связь между двойным интегралом по области и интегралом по её границе:
$$\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\, dy = \oint_{\partial D} P\, dx + Q\, dy.$$
Формула Грина является двумерным случаем более общей теоремы Стокса и применяется при вычислении площадей, а также в теории потенциалов.
¶Применение
Двойные интегралы используются в широком круге задач:
- вычисление площадей плоских фигур, в том числе ограниченных кривыми;
- вычисление объёмов тел, ограниченных поверхностями $z = f(x, y)$ и плоскостью;
- определение массы плоской пластины переменной плотности $\rho(x, y)$: $M = \iint_D \rho\, d\sigma$;
- нахождение координат центра тяжести и моментов инерции плоских тел;
- решение задач теории вероятностей, в частности вычисление вероятностей для двумерных случайных величин: $P\{(X, Y) \in D\} = \iint_D p(x, y)\, dx\, dy$, где $p(x, y)$ — плотность распределения;
- задачи физики и техники: вычисление давления жидкости на плоское погружённое тело, распределение электрического заряда по поверхности, тепловой поток.
¶История
Понятие двойного интеграла формировалось в XVII–XVIII веках параллельно с развитием интегрального исчисления. Задачи нахождения площадей и объёмов решались ещё в древности методом исчерпания (Архимед), а аналитические методы были разработаны И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Строгое обоснование теории кратных интегралов было дано в XIX веке в работах О. Лиувилля, Б. Римана и Г. Фубини; формула, связывающая двойной интеграл с итерированным, получила название формулы Фубини (1907). Развитие теории меры и интеграла Лебега позволило существенно расширить класс интегрируемых функций и область их определения.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа»
- Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа»
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Основы математического анализа»
- Бурминский В. А., Прудников А. П. «Интегралы и ряды»