Джованни Саккери

Джованни Саккери (итал. Giovanni Girolamo Saccheri; 5 сентября 1667, Сан-Ремо — 25 октября 1733, Милан) — итальянский католический священник-иезуит, математик, философ и логик. Известен прежде всего своим посмертным трудом «Euclides ab omni naevo vindicatus» («Евклид, очищенный от всех пятен», 1733), в котором предпринял попытку доказать пятый постулат Евклида методом от противного. Фактически, Саккери заложил основы неевклидовой геометрии, хотя сам не осознал этого, интерпретировав полученные результаты как противоречие.

Биография

Ранние годы и образование

Джованни Джироламо Саккери родился в семье адвоката. В 1685 году, в возрасте 18 лет, вступил в орден иезуитов. Изучал философию и теологию в иезуитских коллегиумах Генуи и Милана. Особый интерес проявил к математике, которую изучал под руководством известного иезуитского учёного Томмазо Чевы.

Академическая карьера

С 1694 по 1697 год Саккери преподавал философию в иезуитском коллегиуме в Брере (Милан). В этот период он опубликовал несколько работ по логике и философии, в том числе «Logica demonstrativa» (1697), где предпринял попытку применить математические методы доказательства к логике. В 1697 году он стал профессором математики в Туринском университете, где проработал до 1702 года. Затем он вернулся в Милан, где занимал кафедру математики в коллегиуме Брера до конца жизни.

Последние годы

Последние годы жизни Саккери посвятил работе над книгой «Euclides ab omni naevo vindicatus», которая была опубликована в год его смерти. Он скончался в Милане в 1733 году, не получив признания за свои идеи, которые на столетие опередили своё время.

Основные труды

«Logica demonstrativa» (1697)

В этой ранней работе Саккери попытался применить аксиоматический метод Евклида к логике. Он стремился доказать основные логические принципы, исходя из минимального числа аксиом. Книга была высоко оценена современниками, в том числе Лейбницем, который отметил её оригинальность, хотя и указал на некоторые недостатки в доказательствах.

«Euclides ab omni naevo vindicatus» (1733)

Это главный труд Саккери, полное название которого переводится как «Евклид, очищенный от всех пятен, или Геометрическая попытка установить самые первые основания всей геометрии». Книга была задумана как окончательное доказательство пятого постулата Евклида (аксиомы о параллельных прямых), который на протяжении веков вызывал сомнения у математиков.

Вклад в геометрию: Четырёхугольник Саккери

Постановка задачи

Пятый постулат Евклида гласит: если прямая пересекает две другие прямые так, что сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти две прямые при продолжении пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше. Многие математики считали этот постулат неочевидным и пытались вывести его из других аксиом.

Метод доказательства от противного

Саккери применил оригинальный метод. Он рассмотрел четырёхугольник с двумя прямыми углами при основании и двумя равными боковыми сторонами (так называемый четырёхугольник Саккери). В таком четырёхугольнике верхние углы (при вершинах) могут быть:

1. Прямыми (гипотеза прямого угла) — соответствует евклидовой геометрии.
2. Тупыми (гипотеза тупого угла).
3. Острыми (гипотеза острого угла).

Саккери поставил цель доказать, что гипотезы тупого и острого угла приводят к логическим противоречиям, и, следовательно, верна только гипотеза прямого угла, из которой вытекает пятый постулат.

Результаты и их интерпретация

• Гипотеза тупого угла: Саккери быстро отбросил её, показав, что она противоречит аксиоме о бесконечности прямой (хотя, как выяснилось позже, она непротиворечива в геометрии Римана на сфере).
• Гипотеза острого угла: Саккери вывел из неё множество теорем, которые сегодня известны как теоремы гиперболической (неевклидовой) геометрии Лобачевского и Бойяи. Он показал, что в этой гипотезе:
• Сумма углов треугольника меньше 180°.
• Существуют треугольники сколь угодно малой площади, но с суммой углов, значительно отличающейся от 180°.
• Через точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную.

Саккери не нашёл логического противоречия в гипотезе острого угла. Он провёл десятки страниц вычислений, но в итоге, не сумев обнаружить формального противоречия, заявил, что оно «противоречит природе прямой линии», то есть привлёк интуитивное, а не логическое обоснование. Это было его роковой ошибкой: он был на пороге открытия неевклидовой геометрии, но не решился признать её возможной.

Философские взгляды

Саккери был последователем схоластической традиции, но в то же время стремился к строгости математического доказательства. В «Logica demonstrativa» он попытался создать универсальный метод доказательства для всех наук, основанный на аксиоматике. Его философские работы менее известны, чем математические, но они показывают его как систематического мыслителя, стремившегося к формализации знания.

Критика и признание

При жизни Саккери не получил широкого признания. Его книга «Euclides ab omni naevo vindicatus» была почти забыта на 150 лет. В 1889 году итальянский математик Эудженио Бельтрами обратил внимание на работу Саккери и показал, что тот фактически открыл основы гиперболической геометрии, но не смог интерпретировать свои результаты правильно. Таким образом, Саккери был признан предтечей Николая Лобачевского и Яноша Бойяи, которые независимо и осознанно создали неевклидову геометрию в XIX веке.

Память

• В честь Джованни Саккери назван кратер на Луне (Saccheri, диаметр 78 км).
• Четырёхугольник, используемый в его доказательстве, носит название «четырёхугольник Саккери».
• В итальянской математической литературе его имя упоминается как один из основоположников неевклидовой геометрии.

Источники

• Saccheri, G. Euclides ab omni naevo vindicatus. — Milano, 1733.
• Бельтрами, Э. «Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea» (1868).
• Клайн, М. «Математика. Утрата определённости». — М.: Мир, 1984.
• История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. 2.