Фильтр Саллена-Ки¶

Фильтр Саллена-Ки — это электронный активный фильтр, реализованный на операционном усилителе (ОУ) с пассивной RC-цепью в цепи обратной связи. Относится к классу фильтров второго порядка (биквадратных звеньев) и широко применяется в аналоговой обработке сигналов для построения фильтров нижних, верхних и полосовых частот, а также режекторных фильтров. Назван по имени американских инженеров Роя Саллена (Roy Sallen) и Эдвина Ки (Edwin Key), предложивших данную топологию в 1955 году.

¶История

Разработка фильтра Саллена-Ки была обусловлена потребностью в компактных и стабильных активных фильтрах для систем связи и измерительной техники 1950-х годов. До появления интегральных операционных усилителей фильтры строились на дискретных транзисторах и пассивных элементах, что делало их громоздкими и чувствительными к разбросу параметров. Саллен и Ки, работавшие в компании «Bell Telephone Laboratories» (США), предложили схему, в которой один операционный усилитель (первоначально на лампах или транзисторах) позволял реализовать передаточную функцию второго порядка с независимой настройкой коэффициента усиления и добротности. Публикация 1955 года в журнале «IRE Transactions on Circuit Theory» заложила основу для массового применения активных RC-фильтров в радиоэлектронике.

¶Устройство и принцип работы

¶Базовая топология

Фильтр Саллена-Ки представляет собой каскадное соединение двух RC-звеньев (резисторов и конденсаторов) и операционного усилителя, включённого по схеме неинвертирующего усилителя с положительной обратной связью. ОУ работает в линейном режиме и задаёт коэффициент усиления \(K = 1 + \frac{R_f}{R_g}\), где \(R_f\) и \(R_g\) — резисторы обратной связи. Входной сигнал подаётся на неинвертирующий вход ОУ через первое RC-звено, а выход звена через второе RC-звено замыкается на инвертирующий вход, образуя частотно-зависимую обратную связь.

¶Передаточная функция

Для фильтра нижних частот (ФНЧ) второго порядка передаточная функция в общем виде:

\[ H(s) = \frac{K \omega_0^2}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q} s + \omega_0^2} \]

где:

• \(s\) — комплексная частота,
• \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}\) — собственная частота (частота среза),
• \(Q = \frac{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}{R_1 C_1 + R_2 C_1 + R_1 C_2 (1-K)}\) — добротность (характеризует остроту резонанса).

Для фильтра верхних частот (ФВЧ) конденсаторы и резисторы меняются местами, а передаточная функция имеет вид:

\[ H(s) = \frac{K s^2}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q} s + \omega_0^2} \]

¶Настройка параметров

Основное преимущество топологии Саллена-Ки — возможность независимой (или почти независимой) настройки частоты среза и добротности. При выборе равных резисторов (\(R_1 = R_2 = R\)) и равных конденсаторов (\(C_1 = C_2 = C\)) частота среза определяется как \(f_0 = \frac{1}{2\pi RC}\), а добротность — как \(Q = \frac{1}{3-K}\). Таким образом, изменяя коэффициент усиления \(K\) (подбором резисторов \(R_f\) и \(R_g\)), можно регулировать добротность, не затрагивая частоту среза. Однако при \(K \geq 3\) фильтр теряет устойчивость и переходит в режим генерации (самовозбуждения).

¶Классификация и виды

Фильтры Саллена-Ки классифицируют по типу реализуемой передаточной функции:

• Фильтр нижних частот (ФНЧ) — пропускает сигналы с частотами ниже \(f_0\), подавляет высокие частоты. Используется для сглаживания, антиалиасинга.
• Фильтр верхних частот (ФВЧ) — пропускает сигналы выше \(f_0\), подавляет низкие частоты. Применяется для разделения сигналов, подавления постоянной составляющей.
• Полосовой фильтр (ПФ) — пропускает сигналы в узкой полосе вокруг \(f_0\). Получается каскадным соединением ФНЧ и ФВЧ или модификацией схемы.
• Режекторный фильтр (заграждающий) — подавляет сигналы в узкой полосе частот. Реализуется с помощью мостовых схем (например, двойного Т-образного моста) в цепи обратной связи.

По числу каскадов различают:

• Однозвенные фильтры — одно звено второго порядка.
• Многозвенные (каскадные) фильтры — последовательное соединение нескольких звеньев Саллена-Ки для получения порядка выше второго (например, 4-го, 6-го и т.д.). Каждое звено реализует свой полюс передаточной функции.

¶Характеристики и особенности

¶Достоинства

• Простота реализации — минимальное количество компонентов: один ОУ, два резистора и два конденсатора (для ФНЧ или ФВЧ).
• Низкая чувствительность к разбросу параметров — при правильном выборе номиналов отклонения характеристик не превышают 10–20 %.
• Возможность независимой настройки — частота и добротность регулируются разными элементами.
• Широкий диапазон рабочих частот — от единиц герц до сотен килогерц (зависит от типа ОУ).

¶Недостатки

• Ограничение по добротности — максимальная добротность \(Q_{max}\) ограничена коэффициентом усиления ОУ и его полосой пропускания. Типичные значения \(Q\) — от 0,5 до 10.
• Чувствительность к параметрам ОУ — на высоких частотах (свыше 100 кГц) паразитные ёмкости и конечное усиление ОУ искажают характеристики.
• Потребность в точных резисторах — для высоких добротностей требуется прецизионный подбор сопротивлений.
• Самовозбуждение — при \(K \geq 3\) фильтр становится неустойчивым.

¶Применение

Фильтры Саллена-Ки находят применение в различных областях электроники:

• Аудиотехника — эквалайзеры, кроссоверы, фильтры для подавления шума и разделения каналов.
• Измерительные приборы — осциллографы, анализаторы спектра, генераторы сигналов (для формирования синусоидальных колебаний).
• Системы связи — выделение и подавление частотных полос, демодуляция.
• Медицинская электроника — фильтрация биосигналов (ЭКГ, ЭЭГ) для удаления помех.
• Автомобильная электроника — обработка сигналов датчиков, системы управления.

¶Примеры реализации

¶Фильтр нижних частот с частотой среза 1 кГц

Параметры: \(f_0 = 1\) кГц, \(Q = 0,707\) (фильтр Баттерворта). Выбираем \(R_1 = R_2 = 10\) кОм, \(C_1 = C_2 = 15,9\) нФ (ближайший стандартный номинал 16 нФ). Коэффициент усиления \(K = 1 + \frac{R_f}{R_g}\). Для \(Q = 0,707\): \(K = 3 - \frac{1}{Q} = 3 - 1,414 = 1,586\). Следовательно, \(R_f = 0,586 R_g\). При \(R_g = 10\) кОм, \(R_f = 5,86\) кОм (ближайший номинал 5,6 кОм).

¶Фильтр верхних частот с частотой среза 100 Гц

Параметры: \(f_0 = 100\) Гц, \(Q = 1\) (фильтр Чебышёва). Выбираем \(R_1 = R_2 = 10\) кОм, \(C_1 = C_2 = 159\) нФ (ближайший номинал 160 нФ). Для \(Q = 1\): \(K = 3 - 1 = 2\). Следовательно, \(R_f = R_g\). При \(R_g = 10\) кОм, \(R_f = 10\) кОм.

¶Сравнение с другими топологиями

Фильтр Саллена-Ки часто сравнивают с другими активными фильтрами второго порядка:

• Фильтр с многопетлевой обратной связью (MFB) — обладает более высокой добротностью и меньшей чувствительностью к разбросу, но требует большего числа компонентов и сложнее в настройке.
• Биквадратный фильтр (State Variable Filter) — позволяет реализовать все типы фильтров одновременно, но требует трёх операционных усилителей.
• Фильтр на основе гиратора — применяется для индуктивностей, но менее стабилен.

Фильтр Саллена-Ки остаётся наиболее популярным для приложений с умеренными требованиями к добротности (до 10) и частотами до 100 кГц.

¶Интересные факты

• Первоначально схема Саллена-Ки была реализована на вакуумных лампах, что ограничивало её частотный диапазон.
• Топология получила название «Sallen-Key» в честь авторов, но в русскоязычной литературе иногда встречается вариант «фильтр Саллена-Ки» или «фильтр Саллена-Кея».
• В 1960-х годах фильтр Саллена-Ки стал основой для первых интегральных активных фильтров, выпускаемых компаниями «National Semiconductor» и «Texas Instruments».
• Схема используется в современных аудиофильских усилителях и синтезаторах благодаря низкому уровню искажений.

¶Источники

• Sallen, R. P.; Key, E. L. (1955). «A Practical Method of Designing RC Active Filters». IRE Transactions on Circuit Theory. 2 (1): 74–85.
• Horowitz, P.; Hill, W. (2015). «The Art of Electronics» (3rd ed.). Cambridge University Press. — Глава 5 «Active Filters».
• Уильямс, А. (2008). «Активные фильтры: проектирование и применение». Перевод с англ. — М.: ДМК Пресс.
• Texas Instruments (2002). «Analysis of the Sallen-Key Architecture». Application Report SLOA024B.