Гексагональная плотнейшая упаковка¶

Гексагональная плотнейшая упаковка (ГПУ, англ. hexagonal close-packed, HCP) — это один из двух основных способов плотнейшей упаковки шаров одинакового размера в трёхмерном пространстве, наряду с кубической гранецентрированной (ГЦК) упаковкой. В кристаллографии ГПУ соответствует гексагональной сингонии и характеризуется тем, что каждый шар (атом) соприкасается с двенадцатью соседями, а слои укладываются в последовательности ABABAB…, где третий слой повторяет первый, а не смещается относительно него. Коэффициент заполнения пространства для ГПУ составляет 0,74048, что идентично ГЦК, однако симметрия и расположение слоёв различаются.

¶История открытия и изучения

Понятие плотнейшей упаковки шаров восходит к работам немецкого математика и кристаллографа Иоганна Кеплера, который в 1611 году в трактате «О шестиугольных снежинках» высказал гипотезу о том, что плотнейшая упаковка равных сфер достигается при расположении их в виде пирамиды с треугольным основанием. Эта гипотеза, известная как гипотеза Кеплера, была строго доказана лишь в 1998 году американским математиком Томасом Хейлзом с использованием компьютерных вычислений.

В кристаллографии различие между ГПУ и ГЦК было установлено в XIX веке при изучении структур металлов. Немецкий минералог Август Браве в 1850 году описал 14 решёток Браве, среди которых гексагональная решётка (P) не является плотнейшей упаковкой, но ГПУ как мотив укладки атомов была выделена позже. В 1920-х годах с развитием рентгеноструктурного анализа структуры многих металлов (например, магния, цинка, титана) были идентифицированы как ГПУ.

¶Структура и геометрия

¶Слоистая укладка

ГПУ строится из плотноупакованных слоёв (слоёв с треугольной решёткой), в которых каждый шар окружён шестью соседями в плоскости. Второй слой (B) располагается в лунках первого слоя (A) — каждый шар второго слоя лежит над треугольной впадиной между тремя шарами первого. Третий слой (C) в ГЦК укладке смещается относительно второго, занимая лунки, не совпадающие с A, тогда как в ГПУ третий слой (A) повторяет первый, располагаясь над его шарами. Таким образом, последовательность слоёв в ГПУ — ABABAB…, а в ГЦК — ABCABC…

¶Координационное число и параметры

Каждый шар в ГПУ имеет 12 ближайших соседей: 6 в своём слое, 3 в слое выше и 3 в слое ниже. Расстояние до всех 12 соседей одинаково (равно диаметру шара). Координационное число (КЧ) равно 12.

Элементарная ячейка ГПУ — гексагональная призма, содержащая 6 атомов (по 2 атома на примитивную ячейку). Параметры решётки: a (длина стороны шестиугольника) и c (высота призмы). Для идеальной плотнейшей упаковки отношение c/a = √(8/3) ≈ 1,633. Однако в реальных кристаллах это отношение может отклоняться из-за анизотропии связей (например, у цинка c/a ≈ 1,86, у кадмия ≈ 1,89).

¶Коэффициент заполнения

Объём, занимаемый шарами в элементарной ячейке, составляет 74,048 % от общего объёма ячейки. Это максимально возможная плотность упаковки равных сфер, одинаковая для ГПУ и ГЦК.

¶Кристаллографические особенности

¶Симметрия

ГПУ относится к гексагональной сингонии, пространственная группа P6₃/mmc (№ 194). В отличие от кубической ГЦК, ГПУ не обладает центральной симметрией в полном смысле (есть ось 6-го порядка и плоскость скользящего отражения). Вследствие этого ГПУ-кристаллы часто проявляют анизотропию свойств (например, теплового расширения, упругости, пластичности).

¶Дефекты упаковки

В реальных кристаллах возможны ошибки укладки слоёв — дефекты упаковки. Например, последовательность ABABAB… может прерваться вставкой слоя C (как в ГЦК), что даёт локальный участок с кубической упаковкой. Такие дефекты влияют на механические свойства (например, пластичность) и могут быть связаны с двойникованием.

¶Примеры веществ с ГПУ-структурой

Многие металлы при нормальных условиях кристаллизуются в ГПУ-решётку. К ним относятся:

• Магний (Mg) — лёгкий конструкционный металл, c/a = 1,624 (близко к идеальному).
• Цинк (Zn) — c/a = 1,861, значительное отклонение из-за направленных связей.
• Кадмий (Cd) — c/a = 1,886.
• Титан (α-Ti) — при комнатной температуре стабильна α-фаза с ГПУ, которая при нагреве выше 882 °C переходит в β-фазу (ОЦК).
• Кобальт (α-Co) — при температуре ниже 417 °C.
• Бериллий (Be) — c/a = 1,568, отклонение в меньшую сторону.
• Гелий (He) — при высоких давлениях (> 25 ГПа) образует ГПУ-фазу.
• Редкоземельные элементы — например, гадолиний (Gd), тербий (Tb), диспрозий (Dy) при низких температурах.

Некоторые соединения, такие как карбид вольфрама (WC) и нитрид титана (TiN) в определённых фазах, также имеют структуру, близкую к ГПУ, но с упорядоченным расположением атомов разных элементов.

¶Сравнение с другими упаковками

¶ГПУ vs ГЦК

Обе упаковки имеют одинаковую плотность (74 %) и КЧ=12. Различие — в последовательности слоёв и симметрии. ГЦК (кубическая) изотропна, ГПУ (гексагональная) — анизотропна. В ГЦК плоскости скольжения (111) обеспечивают высокую пластичность, в ГПУ — только базисные плоскости (0001) часто являются единственными системами скольжения, что делает ГПУ-металлы (например, магний) менее пластичными при комнатной температуре.

¶ГПУ vs ОЦК

Объёмно-центрированная кубическая (ОЦК) решётка имеет КЧ=8 и коэффициент заполнения 68 %. Она менее плотная, но характерна для многих металлов (железо, хром, вольфрам). Переход между ГПУ и ОЦК часто происходит при изменении температуры или давления (полиморфизм).

¶Применение и значение

ГПУ-структура определяет многие свойства металлов и сплавов:

• Магниевые сплавы (например, AZ91) широко используются в авиастроении и автомобилестроении благодаря малому весу, но их низкая пластичность (из-за ограниченного скольжения в ГПУ) требует легирования и термообработки.
• Титановые сплавы (Ti-6Al-4V) — α-фаза (ГПУ) обеспечивает коррозионную стойкость и прочность при высоких температурах.
• Цинк используется в гальванических покрытиях; его ГПУ-структура влияет на анизотропию коррозии.
• Бериллий — лёгкий и жёсткий материал для ядерной и космической техники.
• ГПУ-фазы в сплавах (например, в интерметаллидах) могут служить упрочняющими выделениями.

¶Интересные факты

• В природе ГПУ-структура встречается не только в кристаллах, но и в некоторых коллоидных системах, где плотноупакованные слои образуются из полимерных микросфер.
• Гипотеза Кеплера о плотнейшей упаковке была доказана только в 1998 году, а формальное доказательство для ГПУ и ГЦК было опубликовано в 2014 году.
• Отклонение отношения c/a от идеального 1,633 в реальных металлах связано с анизотропией электронной плотности и ионных радиусов.
• В кристаллографии ГПУ часто называют «гексагональной плотноупакованной структурой», а ГЦК — «кубической плотноупакованной».

¶Источники

• Китайгородский А. И. «Введение в физику твёрдого тела». — М.: Наука, 1972.
• Уэллс А. «Структурная неорганическая химия». — М.: Мир, 1988.
• Хейлз Т. «Гипотеза Кеплера и её доказательство» (Kepler conjecture, 1998).
• Кристаллография. Учебник для вузов / под ред. Б. К. Вайнштейна. — М.: Наука, 1979.
• Атомная структура металлов и сплавов: справочник / под ред. В. И. Трефилова. — Киев: Наукова думка, 1987.