Группа окружности

Группа окружности — это топологическая группа, состоящая из множества точек на единичной окружности в комплексной плоскости с операцией умножения комплексных чисел, или, эквивалентно, группа поворотов плоскости вокруг фиксированной точки. Обозначается как \( \mathbb{T} \), \( U(1) \) или \( SO(2) \). Является компактной, связной, абелевой группой Ли размерности 1. Группа окружности служит фундаментальным объектом в топологии, теории групп Ли, гармоническом анализе и квантовой механике.

Определение и основные свойства

Группа окружности \( \mathbb{T} \) определяется как множество комплексных чисел с модулем, равным единице: \[ \mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}. \] Групповая операция — умножение комплексных чисел: \( z_1 \cdot z_2 = e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \). Обратным элементом является комплексно-сопряжённое число: \( z^{-1} = \bar{z} = e^{-i\theta} \). Единичный элемент — число 1.

Топология на \( \mathbb{T} \) индуцируется стандартной топологией комплексной плоскости. Как топологическое пространство, \( \mathbb{T} \) гомеоморфна окружности \( S^1 \). Группа окружности компактна (как замкнутое и ограниченное подмножество \( \mathbb{C} \)), связна и локально связна.

Абелевость и компактность

Группа \( \mathbb{T} \) является абелевой (коммутативной), так как умножение комплексных чисел коммутативно. Компактность \( \mathbb{T} \) следует из теоремы Гейне — Бореля: единичная окружность — замкнутое и ограниченное множество в \( \mathbb{R}^2 \). Компактность и абелевость делают \( \mathbb{T} \) важным примером компактной абелевой группы Ли.

Группа Ли

\( \mathbb{T} \) является одномерной группой Ли. Её алгебра Ли — вещественная прямая \( \mathbb{R} \) с нулевой скобкой Ли (так как группа абелева). Экспоненциальное отображение \( \exp: \mathbb{R} \to \mathbb{T} \) задаётся формулой \( \exp(t) = e^{it} \). Ядро экспоненциального отображения — \( 2\pi\mathbb{Z} \), поэтому \( \mathbb{T} \cong \mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z} \).

Представления

Неприводимые унитарные представления

Все неприводимые унитарные представления группы \( \mathbb{T} \) одномерны и задаются целыми числами \( n \in \mathbb{Z} \): \[ \pi_n(e^{i\theta}) = e^{in\theta}. \] Каждое такое представление — это гомоморфизм из \( \mathbb{T} \) в мультипликативную группу комплексных чисел по модулю 1. Двойственная группа Понтрягина \( \widehat{\mathbb{T}} \) изоморфна \( \mathbb{Z} \). Это свойство лежит в основе теории рядов Фурье: функции на \( \mathbb{T} \) разлагаются в сумму по характерам \( e^{in\theta} \).

Конечномерные представления

Любое конечномерное представление группы \( \mathbb{T} \) разлагается в прямую сумму одномерных представлений. Это следствие полной приводимости представлений компактных групп. В частности, представления группы \( \mathbb{T} \) в пространствах комплексных матриц соответствуют диагонализуемым матрицам, где собственные значения — степени \( e^{i\theta} \).

Топологические свойства

Фундаментальная группа

Фундаментальная группа \( \pi_1(\mathbb{T}) \) изоморфна \( \mathbb{Z} \). Это означает, что окружность имеет бесконечное число гомотопических классов петель, каждый из которых характеризуется числом оборотов (индексом зацепления). Универсальное накрытие \( \mathbb{T} \) — это вещественная прямая \( \mathbb{R} \) с отображением \( p(t) = e^{it} \). Накрывающее пространство стягиваемо, поэтому \( \mathbb{T} \) является \( K(\mathbb{Z}, 1) \)-пространством (эйленбергово-Маклейново пространство).

Гомотопические группы

Высшие гомотопические группы \( \mathbb{T} \) тривиальны: \( \pi_k(\mathbb{T}) = 0 \) для всех \( k \geq 2 \). Это следует из того, что универсальное накрытие \( \mathbb{R} \) стягиваемо, и гомотопические группы накрытия совпадают с гомотопическими группами базы в размерностях \( \geq 2 \).

Когомологии

Группы когомологий \( \mathbb{T} \) с целыми коэффициентами: \[ H^k(\mathbb{T}; \mathbb{Z}) \cong \begin{cases} \mathbb{Z}, & k = 0, 1, \\ 0, & k \geq 2. \end{cases} \] Кольцо когомологий \( H^*(\mathbb{T}; \mathbb{Z}) \) является внешней алгеброй от одного образующего степени 1.

Группа окружности как группа Ли

Алгебра Ли

Алгебра Ли \( \mathfrak{t} \) группы \( \mathbb{T} \) — это одномерное вещественное векторное пространство с нулевой скобкой Ли. Базисный элемент можно отождествить с касательным вектором в единице, соответствующим направлению \( i \). Экспоненциальное отображение \( \exp: \mathfrak{t} \to \mathbb{T} \) — это отображение \( t \mapsto e^{it} \).

Группа поворотов

Группа \( \mathbb{T} \) изоморфна специальной ортогональной группе \( SO(2) \) — группе вращений плоскости. Изоморфизм задаётся отображением: \[ e^{i\theta} \mapsto \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. \] Группа \( SO(2) \) — единственная компактная связная одномерная группа Ли.

Применения

Гармонический анализ

Группа окружности является компактной абелевой группой, поэтому на ней определён интеграл Хаара — нормированная мера Лебега на окружности. Теория рядов Фурье — это разложение функций на \( \mathbb{T} \) по характерам \( e^{in\theta} \). Преобразование Фурье на \( \mathbb{T} \) отображает функции в последовательности коэффициентов Фурье.

Квантовая механика

В квантовой механике группа \( U(1) \) (изоморфная \( \mathbb{T} \)) описывает фазовые симметрии. Например, фаза волновой функции \( \psi \mapsto e^{i\alpha}\psi \) является \( U(1) \)-симметрией. Калибровочная теория электромагнетизма основана на локальной \( U(1) \)-симметрии.

Топология и теория узлов

Группа окружности используется как модель для изучения расслоений. Главное \( \mathbb{T} \)-расслоение — это расслоение со слоем \( \mathbb{T} \). Классифицирующее пространство \( B\mathbb{T} \) — это бесконечномерное комплексное проективное пространство \( \mathbb{C}P^\infty \). В теории узлов группа окружности связана с инвариантами узлов через представления квантовых групп.

Теория чисел

Группа \( \mathbb{T} \) естественно возникает в теории чисел как компактификация вещественной прямой. Двойственность Понтрягина между \( \mathbb{T} \) и \( \mathbb{Z} \) лежит в основе анализа на торе и теории модулярных форм.

Связь с другими группами

\( U(1) \) и \( SO(2) \)

Группа \( U(1) \) — это группа унитарных матриц размера 1×1, изоморфная \( \mathbb{T} \). Группа \( SO(2) \) — группа ортогональных матриц с определителем 1, также изоморфна \( \mathbb{T} \). Различие между ними — в представлении: \( U(1) \) действует на комплексной плоскости, \( SO(2) \) — на вещественной.

Тор

\( n \)-мерный тор \( \mathbb{T}^n \) — это прямое произведение \( n \) копий группы окружности. Он является компактной абелевой группой Ли размерности \( n \). Тор играет ключевую роль в теории групп Ли как максимальный тор полупростых групп.

Группа \( \mathbb{R} \)

Группа вещественных чисел \( \mathbb{R} \) является универсальным накрытием \( \mathbb{T} \). Отображение \( t \mapsto e^{it} \) — это гомоморфизм с ядром \( 2\pi\mathbb{Z} \). Двойственная группа Понтрягина к \( \mathbb{R} \) — это \( \mathbb{R} \), а к \( \mathbb{T} \) — \( \mathbb{Z} \).

Интересные факты

• Группа окружности является единственной компактной связной одномерной группой Ли (с точностью до изоморфизма).
• Всякая компактная абелева группа Ли изоморфна произведению конечного числа копий \( \mathbb{T} \) и конечной абелевой группы.
• Классифицирующее пространство \( B\mathbb{T} \) гомотопически эквивалентно \( \mathbb{C}P^\infty \), что используется в теории характеристических классов.
• Группа \( \mathbb{T} \) является прообразом в теории представлений: её неприводимые представления параметризуются целыми числами, что даёт начало теории весов для произвольных компактных групп Ли.