I-MR-карта

I-MR-карта (индивидуальных значений и скользящего размаха, от англ. Individuals and Moving Range chart) — это тип контрольной карты Шухарта, используемый в статистическом управлении процессами (SPC) для мониторинга стабильности и предсказуемости процесса, когда данные собираются по одному измерению за раз (подгруппа объёмом n=1). I-MR-карта состоит из двух графиков: верхний отображает индивидуальные значения (I-карта), нижний — скользящий размах (MR-карта), который вычисляется как абсолютная разность между двумя последовательными измерениями. Применяется в непрерывных производствах, лабораторных испытаниях, финансовом анализе и других областях, где невозможно или нецелесообразно формировать рациональные подгруппы большего размера.

История и происхождение

Контрольные карты были разработаны американским физиком и статистиком Уолтером Шухартом в 1920-х годах на предприятиях Bell Telephone Laboratories. Первоначально Шухарт предложил карты для средних арифметических и размахов (X̄-R-карты) для подгрупп объёмом от 2 до 10 единиц. Однако в 1930-х годах, при анализе процессов, где данные поступали редко или по одному значению (например, химические анализы, испытания на прочность), потребовалась адаптация метода. Американский статистик Леонард Х. К. Типпетт и позже Эдвард Деминг развили идею использования скользящего размаха для оценки вариабельности при n=1. В 1950-х годах I-MR-карта стала стандартным инструментом в промышленности, особенно в химической и фармацевтической, и была включена в международные стандарты серии ISO 7870 и американские ANSI/ASQ B1-B3.

Устройство и принцип построения

I-MR-карта строится на основе временного ряда измерений. Для каждого момента времени t вычисляются два параметра:

Индивидуальное значение (Xᵢ) — непосредственно измеренная величина.
Скользящий размах (MRᵢ) — для i-го измерения: MRᵢ = |Xᵢ — Xᵢ₋₁|, для i = 2, 3, …, n. Для первого измерения MR не определяется.

Расчёт центральных линий и контрольных границ

Центральная линия (CL) для I-карты — среднее арифметическое всех индивидуальных значений:

\[ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \]

Для MR-карты центральная линия — средний скользящий размах:

\[ \overline{MR} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=2}^{n} MR_i \]

Контрольные границы рассчитываются с использованием коэффициентов d₂ и d₃ (табулированных значений для n=2, так как скользящий размах фактически основан на подгруппе из двух точек):

Верхняя контрольная граница (UCL) для I-карты: \(\bar{X} + 3 \cdot \frac{\overline{MR}}{d_2}\)
Нижняя контрольная граница (LCL) для I-карты: \(\bar{X} — 3 \cdot \frac{\overline{MR}}{d_2}\)
Верхняя контрольная граница для MR-карты: \(D_4 \cdot \overline{MR}\)
Нижняя контрольная граница для MR-карты: \(D_3 \cdot \overline{MR}\) (часто равна нулю, если D₃ < 0, то LCL принимается за 0)

Для n=2 стандартные значения: d₂ = 1,128, D₃ = 0, D₄ = 3,267. Таким образом, UCL для I-карты = \(\bar{X} + 2,66 \cdot \overline{MR}\), LCL = \(\bar{X} — 2,66 \cdot \overline{MR}\). Для MR-карты UCL = 3,267 · \(\overline{MR}\), LCL = 0.

Правила интерпретации

Для оценки стабильности процесса применяются стандартные правила Вестерна-Электрик (Western Electric rules), адаптированные для I-MR-карт:

Выход точки за контрольные границы (выше UCL или ниже LCL) — сигнал о наличии особой причины.
Серия из 7 точек подряд на одной стороне от центральной линии — признак смещения среднего.
Тренд из 7 точек подряд вверх или вниз — возможное изменение процесса.
Две из трёх последовательных точек в зоне A (между 2σ и 3σ от CL) — сигнал о нестабильности.
Четыре из пяти точек в зоне B (между 1σ и 2σ) — аналогично.

Применение

I-MR-карта применяется в ситуациях, где невозможно сформировать подгруппы объёмом более 1 единицы. Основные области использования:

Промышленность и производство

Химическая и нефтеперерабатывающая промышленность: контроль концентрации реагентов, вязкости, температуры в реакторах, где анализ проводится раз в час или реже.
Фармацевтика: мониторинг чистоты активных веществ, результатов испытаний на стабильность лекарственных форм.
Металлургия: контроль твёрдости, прочности, химического состава сплавов по результатам лабораторных проб.
Пищевая промышленность: проверка влажности, кислотности, содержания жира в партиях продукции.

Лабораторные и исследовательские работы

Калибровка измерительных приборов: контроль точности эталонов.
Анализ результатов межлабораторных сличений.
Мониторинг стабильности стандартных образцов.

Финансы и экономика

Отслеживание дневных объёмов продаж, курсов валют, цен на сырьё.
Контроль дебиторской задолженности, сроков поставок.

Медицина и здравоохранение

Мониторинг физиологических показателей пациентов (например, уровень глюкозы в крови, артериальное давление) при длительном наблюдении.
Контроль качества лабораторных анализов (например, гематологических показателей).

Преимущества и ограничения

Преимущества

Простота расчёта и визуализации: не требует сложного программного обеспечения, может быть построена вручную или в таблицах Excel.
Чувствительность к трендам и сдвигам: позволяет быстро выявлять изменения в процессе, даже если данные редки.
Независимость от объёма выборки: применима для любых процессов, где n=1.
Гибкость: может использоваться как для непрерывных, так и для дискретных данных (например, количество дефектов, если измерение одно).

Ограничения

Низкая статистическая мощность при малом числе точек: для надёжных выводов требуется не менее 20–25 точек.
Чувствительность к автокорреляции: если данные зависимы (например, при временных рядах с трендом или сезонностью), I-MR-карта может давать ложные сигналы. В таких случаях рекомендуется предварительное удаление автокорреляции (например, с помощью ARIMA-моделей).
Неэффективность при больших выбросах: единичный выброс может сильно исказить среднее и границы, особенно при малом количестве точек.
Отсутствие информации о внутригрупповой вариации: в отличие от X̄-R-карт, I-MR-карта не разделяет вариацию на «внутригрупповую» и «межгрупповую», что может затруднить анализ источников вариабельности.

Пример построения

Рассмотрим гипотетический процесс измерения вязкости масла (в сантипуазах) в 10 последовательных пробах: 45, 48, 44, 47, 46, 50, 49, 45, 46, 48.

Расчёт среднего: \(\bar{X} = (45+48+44+47+46+50+49+45+46+48)/10 = 46,8\).
Расчёт скользящих размахов:

MR₂ = |48-45| = 3
MR₃ = |44-48| = 4
MR₄ = |47-44| = 3
MR₅ = |46-47| = 1
MR₆ = |50-46| = 4
MR₇ = |49-50| = 1
MR₈ = |45-49| = 4
MR₉ = |46-45| = 1
MR₁₀ = |48-46| = 2

Среднее MR: \(\overline{MR} = (3+4+3+1+4+1+4+1+2)/9 = 23/9 ≈ 2,556\).

Контрольные границы для I-карты:

UCL = 46,8 + 2,66·2,556 ≈ 46,8 + 6,80 = 53,60
LCL = 46,8 — 6,80 = 40,00

Контрольные границы для MR-карты:

UCL = 3,267·2,556 ≈ 8,35
LCL = 0

Все точки лежат в пределах границ, серий нет — процесс стабилен.

Связь с другими контрольными картами

I-MR-карта является частным случаем карт для индивидуальных значений. При наличии возможности формировать подгруппы большего размера (n≥2) предпочтительнее использовать X̄-R-карты (для n≤10) или X̄-S-карты (для n>10), так как они дают более точную оценку вариабельности. Для данных с автокорреляцией применяются модификации: I-MR-R/S-карты или карты с экспоненциальным сглаживанием (EWMA). В случаях, когда процесс имеет тренд, используют карты с регрессионной коррекцией.

Интересные факты

В стандарте ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015 (аналог ISO 7870-2) I-MR-карта описана как «контрольная карта для индивидуальных значений и скользящих размахов».
В некоторых отраслях, например, в фармацевтике, I-MR-карта обязательна для валидации процессов производства в соответствии с требованиями GMP (надлежащей производственной практики).
При использовании I-MR-карты в режиме реального времени (on-line) часто применяют автоматическое правило «2 из 3» для раннего обнаружения сдвига среднего.

Источники

Шухарт У. А. Статистическое управление качеством. — М.: Стандартгиз, 1952.
Монтгомери Д. К. Статистическое управление процессами. — М.: Вильямс, 2011.
ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015. Статистические методы. Контрольные карты. Часть 2. Карты Шухарта.
Wheeler D. J., Chambers D. S. Understanding Statistical Process Control. — SPC Press, 1992.
Western Electric Company. Statistical Quality Control Handbook. — 1956.

BFOmetr — база данных и аналитика по компаниям России.

На главную BFOmetr →