Компланарные векторы¶

Компланарные векторы — это векторы, лежащие в одной плоскости. Если все векторы системы принадлежат одной плоскости, систему называют компланарной. Компланарность является важным свойством векторных систем, поскольку определяет возможность их упрощённого анализа: например, сумма компланарных векторов также компланарна с ними.

¶Определение и критерии компланарности

Два ненулевых вектора всегда компланарны: через начало и концы двух векторов всегда можно провести плоскость. Компланарность начинает играть содержательную роль начиная с трёх векторов.

Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

[a b c] = (a × b) · c = 0

Это условие эквивалентно тому, что векторное произведение a × b перпендикулярно c, то есть c лежит в плоскости, порождённой a и b (или параллелен ей). Если хотя бы один из векторов нулевой, тройка компланарна по определению.

Для системы из произвольного числа векторов компланарность означает, что все они лежат в одной плоскости. Достаточно, чтобы любые три ненулевых вектора системы были компланарны.

¶Геометрическая интерпретация

Компланарные векторы можно изобразить как стрелки, начала которых перенесены в одну точку, лежащие в одной плоскости. Такие векторы образуют плоский векторный многоугольник при сложении по правилу многоугольника.

При сложении компланарных векторов сумма также лежит в той же плоскости. Это свойство называется замкнутостью класса компланарных векторов относительно линейных операций: любая линейная комбинация компланарных векторов компланарна с ними.

¶Разложение компланарного вектора

Любой вектор в плоскости может быть представлен как линейная комбинация двух неколлинеарных векторов, лежащих в этой же плоскости. Если e₁ и e₂ — два неколлинеарных компланарных вектора, то для любого вектора a той же плоскости существуют уникальные скалярные коэффициенты λ₁ и λ₂ такие, что:

a = λ₁e₁ + λ₂e₂

Это разложение лежит в основе плоских систем координат (декартовой, полярной, косоугольной) и применяется при решении задач статики и кинематики.

¶Компланарность и основные векторные операции

Векторное произведение двух компланарных векторов перпендикулярно плоскости их компланарности. Смешанное произведение трёх компланарных векторов равно нулю, как указано выше. Скалярное произведение компланарных векторов не имеет специальных ограничений и вычисляется по общим правилам.

Если a и b компланарны, то векторное произведение a × b перпендикулярен плоскости, содержащей a и b. Это свойство используется при определении нормали к плоскости.

¶Применение

¶Статика

В задачах статики равновесие тела, на которое действуют компланарные силы, описывается условием, что векторная сумма сил и моментов равна нулю. Компланарность силовых векторов позволяет свести трёхмерную задачу к плоской и использовать три уравнения равновесия вместо шести.

¶Кинематика

При плоском движении твёрдого тела все векторы скоростей и ускорений точек тела компланарны. Это упрощает анализ механизмов и машин.

¶Компьютерная графика

При работе с трёхмерными сценами проверка компланарности вершин используется при триангуляции полигонов, определении видимости граней и построении плоскостей сечения.

¶Физика

В квантовой механике состояние электрона в атоме описывается волновой функцией, а понятие компланарности возникает при анализе орбиталей и допустимых переходов. В оптике компланарность лучей определяет условия интерференции и дифракции.

¶Компланарность и коллинеарность

Коллинеарные векторы — частный случай компланарных: они лежат на одной прямой, которая содержится в любой плоскости. Система из двух векторов всегда компланарна, тогда как система из трёх векторов может быть некомпланарной — в этом случае они образуют трёхмерный базис.

¶Связанные понятия

• Коллинеарные векторы — лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
• Компланарные точки — точки, лежащие в одной плоскости.
• Смешанное произведение векторов — скаляр, равный нулю для компланарной тройки.
• Плоский векторный многоугольник — геометрическое представление суммы компланарных векторов.

¶История

Термин «компланарный» происходит от латинского complanaris — «плоский, лежащий в одной плоскости». Понятие векторного анализа было разработано в XIX веке работами О. Коши, Г. Грина, Г. В. Р. Гамильтона, Дж. Гиббса и Г. Гельмгольца. В русской математической традиции векторный аппарат и термин «компланарные векторы» были закреплены в учебниках по аналитической геометрии и линейной алгебре, в частности в трудах Н. Ф. Четверухина, И. М. Виноградова и других авторов.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Ильин В. А., Позняков Э. Г. Аналитическая геометрия.
• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.