Координаты вектора в математике¶

Координаты вектора — это упорядоченный набор чисел, который однозначно определяет положение вектора в заданном базисе. Каждое из этих чисел называется компонентой (или проекцией) вектора на соответствующее базисное направление. Координаты позволяют перевести геометрические операции над векторами — сложение, вычитание, умножение на число, скалярное произведение — в алгебраические действия над числами, что лежит в основе аналитической геометрии и линейной алгебры.

¶Общее определение

Пусть в векторном пространстве задан базис — набор линейно независимых векторов e₁, e₂, …, eₙ, через которые выражается любой вектор пространства. Тогда для произвольного вектора a существует единственный набор чисел (a₁, a₂, …, aₙ), такой что

a = a₁e₁ + a₂e₂ + … + aₙeₙ.

Эти числа a₁, a₂, …, aₙ и называются координатами вектора a в данном базисе. Записывают их обычно в виде строки или столбца: a = (a₁, a₂, …, aₙ). Существенно, что координаты вектора всегда привязаны к конкретному базису: при смене базиса тот же самый вектор получает другие координаты.

¶Координаты на плоскости и в пространстве

В школьном курсе чаще всего рассматривается прямоугольная (декартова) система координат с ортонормированным базисом.

На плоскости базис образуют два взаимно перпендикулярных единичных вектора i и j, направленных вдоль осей Ox и Oy. Любой вектор a на плоскости единственным образом записывается как a = xi + yj, а его координаты обозначаются (x; y) или (x, y). Число x называют абсциссой вектора, y — ординатой.

В трёхмерном пространстве добавляется третий базисный вектор k вдоль оси Oz, и вектор записывается как a = xi + yj + zk с координатами (x; y; z).

Если вектор задан точками начала A(x₁; y₁) и конца B(x₂; y₂), то его координаты вычисляются как разности соответствующих координат:

AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁).

Это правило прямо следует из геометрического смысла координат: вектор показывает, насколько нужно сместиться вдоль каждой оси.

¶Геометрический смысл и модуль

Координаты вектора в ортонормированном базисе равны его ортогональным проекциям на координатные оси. Это позволяет связать координаты с длиной (модулем) вектора по теореме Пифагора:

|a| = √(x² + y²) для плоскости и |a| = √(x² + y² + z²) для пространства.

Направление вектора на плоскости задаётся углом между вектором и положительным направлением оси Ox; его тангенс равен отношению y/x (при x ≠ 0). В пространстве направление описывают направляющими косинусами — косинусами углов между вектором и осями координат.

¶Действия над векторами в координатах

Координатная форма делает операции над векторами простыми и наглядными. Если a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂), то:

• сложение: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂);
• вычитание: a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂);
• умножение на число k: ka = (kx₁; ky₁);
• скалярное произведение: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.

Аналогичные формулы действуют и в трёхмерном пространстве с добавлением третьей компоненты. Скалярное произведение позволяет, в частности, находить угол между векторами и проверять их перпендикулярность: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

¶Линейная зависимость и базис

Понятие координат тесно связано с линейной независимостью. Система векторов линейно зависима, если один из них выражается через остальные; в противном случае она образует базис. Число векторов в базисе определяет размерность пространства. Координаты вектора в данном базисе единственны — это ключевое свойство, на котором строится вся аналитическая геометрия.

Если базис не ортонормированный, формулы для длины вектора и скалярного произведения усложняются: они выражаются через матрицу Грама — таблицу попарных скалярных произведений базисных векторов.

¶Преобразование координат при смене базиса

При переходе от одного базиса к другому координаты вектора изменяются по линейному закону. Связь между старыми и новыми координатами задаётся матрицей перехода, столбцы которой — координаты новых базисных векторов, выраженные через старые. Если обозначить координатные столбцы как x и x′, то x = Px′, где P — матрица перехода. Это правило широко применяется в механике, компьютерной графике и физике при выборе удобной системы отсчёта.

¶Применение

Координаты вектора используются практически во всех разделах математики и естественных наук:

• аналитическая геометрия — уравнения прямых, плоскостей, кривых;
• физика — описание скорости, ускорения, силы как векторных величин;
• компьютерная графика — положение, перемещение и трансформация объектов на экране;
• инженерные расчёты — метод конечных элементов, строительная механика;
• машинное обучение — представление данных в виде векторов признаков.

Векторное представление данных лежит в основе современных вычислительных методов: объект описывается набором чисел-координат в многомерном пространстве, а расстояние между объектами вычисляется как длина разности векторов.

¶Пример

Даны точки A(1; 2) и B(4; 6). Координаты вектора AB равны (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4). Его длина |AB| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Если вектор c = (1; −1), то скалярное произведение AB · c = 3·1 + 4·(−1) = −1, а значит, угол между векторами тупой.

¶Обобщения

Понятие координат естественно переносится на пространства любой размерности, включая бесконечномерные функциональные пространства, где роль базиса играют системы функций (например, ряды Фурье). В абстрактной линейной алгебре координаты вектора — это коэффициенты его разложения по базису, а сам вектор отождествляется со столбцом своих координат.

Источники: учебники по аналитической геометрии и линейной алгебре, школьные курсы геометрии, справочная математическая литература.