Матрица перехода в линейной алгебре¶

Матрица перехода — это квадратная матрица, столбцы которой являются координатами векторов одного базиса, выраженными через векторы другого базиса того же векторного пространства. Она применяется для преобразования координат векторов и матриц линейных операторов при смене базиса. Элементы матрицы перехода — числа из того же поля, над которым задано векторное пространство (обычно действительные или комплексные).

¶Определение

Пусть в векторном пространстве \(V\) размерности \(n\) заданы два базиса: старый \(E = (e_1, e_2, \dots, e_n)\) и новый \(E' = (e'_1, e'_2, \dots, e'_n)\). Каждый вектор нового базиса единственным образом раскладывается по векторам старого:

\[ e'_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, e_i, \quad j = 1, \dots, n. \]

Матрица \(A = (a_{ij})\), составленная из коэффициентов этих разложений, называется матрицей перехода от базиса \(E\) к базису \(E'\). Коэффициенты \(a_{ij}\) записываются по столбцам: \(j\)-й столбец содержит координаты вектора \(e'_j\) в старом базисе.

¶Свойства

• Матрица перехода всегда невырождена: её определитель отличен от нуля, поскольку векторы базиса линейно независимы.
• Обратная матрица \(A^{-1}\) является матрицей перехода от нового базиса к старому.
• Множество матриц перехода над полем образует группу относительно умножения — общую линейную группу \(GL(n)\).
• Если базисы ортонормированы в евклидовом пространстве, матрица перехода является ортогональной: \(A^{T}A = I\).

¶Связь координат вектора

Если вектор \(x\) имеет координатный столбец \(x_E\) в старом базисе и \(x_{E'}\) в новом, то связь задаётся формулой:

\[ x_E = A\, x_{E'}, \qquad x_{E'} = A^{-1} x_E. \]

Иными словами, матрица перехода от старого базиса к новому переводит координаты из нового базиса в старый. Это правило часто становится источником ошибок, поскольку направление преобразования противоположно интуитивному ожиданию.

¶Преобразование матрицы линейного оператора

Пусть линейный оператор \(\varphi\) задан матрицей \(M_E\) в базисе \(E\). При переходе к базису \(E'\) его матрица вычисляется по формуле:

\[ M_{E'} = A^{-1} M_E A. \]

Такое преобразование называется подобием, а матрицы \(M_E\) и \(M_{E'}\) — подобными. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, след, характеристический многочлен, собственные значения и ранг. Это позволяет выбирать базис, в котором матрица оператора принимает наиболее простой вид — диагональный или жорданову форму.

¶Пример

В пространстве \(\mathbb{R}^2\) рассмотрим стандартный базис \(E = (e_1, e_2)\) и базис \(E' = (e'_1, e'_2)\), где \(e'_1 = e_1 + e_2\), \(e'_2 = e_1 - e_2\). Тогда матрица перехода от \(E\) к \(E'\) имеет вид:

Её определитель равен −2, что подтверждает невырожденность. Вектор с координатами \((1, 0)\) в новом базисе имеет в старом базисе координаты \((1, 1)\).

¶Применение

Матрицы перехода используются в аналитической геометрии при преобразовании систем координат, в механике при описании поворотов твёрдого тела, в компьютерной графике для перехода между локальными и мировыми системами координат, в квантовой механике при смене представлений (например, от координатного к импульсному). В численных методах они лежат в основе приведения матриц к удобному виду и решения задач на собственные значения.

¶Смежные понятия

С матрицей перехода тесно связаны понятия базиса, линейной независимости, ранга матрицы, обратной матрицы и подобия. В тензорном исчислении аналогом служат матрицы преобразования компонент тензора при замене системы координат.

Источники: учебники по линейной алгебре, курс аналитической геометрии, справочные материалы по теории матриц.