Корень в математике¶

Корень в математике — это значение, при возведении в определённую степень дающее исходное число. Термин применяется прежде всего к квадратному корню (степень 2) и корню n-й степени (степень n), а также распространяется на корни многочленов и корни уравнений. Понятие корня является фундаментом алгебры, числовой анализа и прикладной математики.

¶Квадратный корень

Квадратный корень из числа a — это число x, такое что x² = a. Для положительного вещественного числа a существует ровно два квадратных корня: положительный и отрицательный. Положительный из них называют арифметическим квадратным корнем и обозначают √a. Например, √9 = 3, поскольку 3² = 9. Отрицательный корень записывается как −√9 = −3.

Квадратные корни отрицательных вещественных чисел в области действительных чисел не существуют: ни одно вещественное число, возведённое в квадрат, не даёт отрицательного результата. Для работы с такими выражениями расширяют число область, вводя мнимую единицу i, где i² = −1. В этом случае √−9 = 3i.

¶Корень n-й степени

Обобщение квадратного корня — корень n-й степени. Корень n-й степени из числа a (обозначается ⁿ√a) — это число x, такое что xⁿ = a. Если n нечётное, корень существует для любых вещественных чисел, включая отрицательные: например, ∛(−8) = −2, так как (−2)³ = −8. Если n чётное, для отрицательных a вещественных корней нет.

Свойства корней n-й степени:

• ⁿ√(aⁿ) = |a| при чётном n и ⁿ√(aⁿ) = a при нечётном n;
• ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab);
• ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n) — запись корня через дробную степень.

Дробные показатели степени тесно связаны с корнями: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Такая запись удобна при дифференцировании и интегрировании степенных функций.

¶Комплексные корни

В области комплексных чисел ситуация иная: у любого ненулевого комплексного числа a существует ровно n корней n-й степени. Они равномерно расположены на окружности радиуса ⁿ√|a| в комплексной плоскости. Например, из единицы существуют два квадратных корня: 1 и −1; три кубических корня: 1, −½ + i√3/2 и −½ − i√3/2 — это так называемые кубические корни из единицы.

Нахождение всех корней n-й степени из комплексного числа осуществляется с помощью тригонометрической формы комплексного числа и формулы Муавра.

¶Корни многочленов

Корнем многочлена P(x) называется значение x, при котором P(x) = 0. Определение распространяется и на уравнения: корень уравнения f(x) = 0 — это значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое равенство.

Основные факты теории корней многочленов:

• Фундаментальная теорема алгебры: каждый многочлен степени n ≥ 1 над комплексными числами имеет ровно n корней с учётом кратности.
• Теорема Виета: коэффициенты многочлена связаны с суммами и произведениями его корней. Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a, произведение — c/a.
• Квадратная формула: корни уравнения ax² + bx + c = 0 находятся по формуле x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Выражение D = b² − 4ac называется дискриминантом и определяет характер корней.

Для многочленов степени выше четвёртой общие формулы решения через радикалы не существуют, что доказано Абели и Галуа (теорема Абеля — Руффини). Корни пятой и более высоких степеней могут находиться только численными методами или с помощью специальных функций.

¶Методы нахождения корней

Приближённое вычисление корней уравнений — важная задача численного анализа. Основные методы:

• Метод деления отрезка пополам — простой и надёжный, но с медленной сходимостью.
• Метод Ньютона (метод касательных) — быстрая квадратичная сходимость, требует вычисления производной.
• Метод хорд — приближение корня последовательными хордами графика функции.
• Итерационные методы — приведение уравнения к виду x = φ(x) и последовательные приближения.

В компьютерных алгебраических системах для нахождения точных корней используются алгоритмы, основанные на разложении матриц (для характеристических полиномов) и символьных преобразованиях.

¶Запись и история

Знак radicalis (√) ввёл в XVI веке Кристофф Рудольф, заимствовав сокращение латинского слова radix («корень»). Ранее корни обозначались словесно или с помощью специальных символов, например R.q. (radix quadrata — квадратный корень) у Виета.

Понятие корня возникло в древности как задача о построении квадрата, равновеликого данному прямоугольнику, и было развито в трудах древнегреческих математиков Евклида и Герона Александрийского. Индийские и арабские математики развили вычислительные методы, а в эпоху Возрождения появилась символическая запись, ставшая основой современной нотации.

¶Применение

Понятие корня используется во множестве математических дисциплин и прикладных областей: геометрии (высота равностороннего треугольника выражается через корень из трёх), физике (законы свободного падения и маятника содержат квадратные корни), статистике (среднеквадратическое отклонение), инженерных расчётах, криптографии (алгоритмы, основанные на сложности извлечения корней по модулю) и теории чисел (квадратичные вычеты).

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
• Винберг Э. Б. Курс алгебры
• Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по математическому анализу
• Бурминский А. С. Математика для инженеров и техников
• Большая математическая энциклопедия (под ред. М. В. Келдыша)