Куб — геометрическое тело, построение и свойства¶
Куб — это правильный многогранник, состоящий из шести квадратных граней, двенадцати рёбер равной длины и восьми вершин. Куб относится к пяти платоновым телам и обозначается в математике как {4,3} по Шлефли. Построение куба — распространённая задача школьной стереометрии, черчения, а также ручного и цифрового творчества.
¶Основные свойства
Куб обладает рядом характеристик, определяющих его как правильный многогранник:
- 6 граней, каждая из которых является правильным четырёхугольником;
- 12 рёбер одинаковой длины, обозначаемой как $a$;
- 8 вершин, в каждой из которых сходятся три ребра под прямым углом;
- 9 диагоналей, каждая из которых равна $a\sqrt{3}$;
- объём $V = a^3$, площадь поверхности $S = 6a^2$.
Куб обладает высокой симметрией: его группа симметрии включает 48 преобразований (24 поворотов и 24 отражений). Каждая вершина куба является вершиной трёх граней, каждое ребро — общей границей двух граней.
¶Построение куба с помощью чертежа (развёртка)
Самый простой способ сделать куб из бумаги или картона — построить его развёртку. Развёртка куба представляет собой плоскую фигуру из шести квадратов, сложенных определённым образом, которая при сгибании по линиям сгибов образует объёмное тело.
¶Правила построения развёртки
- Начертить на бумаге шесть квадратов одинакового размера, расположив их крестообразно: четыре квадрата в ряд, а два дополнительных — сверху и снизу второго квадрата ряда.
- Добавить по одному клапану (припуску) на трёх сторонах развёртки для склеивания.
- Вырезать контур по внешнему краю.
- Согнуть по линиям между квадратами.
- Склеить клапаны изнутри, совмещая соответствующие рёбра.
Всего существует 11 различных развёрток куба (без учёта симметрий и поворотов). Наиболее распространённая из них — «крестообразная», однако существуют и другие конфигурации, например «лестничная» или «Т-образная».
¶Построение куба с помощью циркуля и линейки
В классической геометрии куб строится с помощью невооружённого циркуля и линейки. Алгоритм:
- Построить квадрат произвольной стороны $a$.
- Из каждой вершины квадрата восстановить перпендикуляры к соответствующим сторонам.
- Отложить на каждом перпендикуляре отрезок длиной $a$.
- Соединить полученные точки попарно — получится вторая грань куба, перпендикулярная первой.
- Повторить операцию для оставшихся рёбер.
Таким образом строится ортогональная проекция куба на плоскость. В пространственной геометрии куб удобно задавать в декартовой системе координат: если одна из вершин расположена в точке $(0,0,0)$, а рёбра направлены вдоль осей координат, то противоположная вершина имеет координаты $(a,a,a)$.
¶Куб из подручных материалов
¶Из бумаги и картона
Помимо развёртки, куб можно собрать из шести отдельных квадратных заготовок, склеенных по рёбрам. Для этого каждый квадрат снабжается клапанами шириной 5–10 мм на трёх сторонах. Такой метод применяется при изготовлении моделей, упаковки и элементов интерьера.
¶Из дерева
При изготовлении деревянного куба необходимо:
- Подготовить шесть квадратных досок или планок одинакового размера.
- Обработать кромки, добившись точной прямизны.
- Соединить грани на шипах, шкантах или с помощью столярного клея.
- Зашкурить поверхность и покрыть защитным составом.
¶Из гипса или бетона
Для отливки куба из гипса изготавливается опалубка — разборная форма из фанеры или пластика, внутренние размеры которой равны желаемому ребру куба. Гипсовое тесто заливается в форму, после застывания куб извлекается и шлифуется.
¶Куб в компьютерном моделировании
В трёхмерной графике куб (или гексаэдр) является базовым примитивом, доступным практически в любом редакторе: Blender, 3ds Max, SketchUp, FreeCAD. Стандартный способ создания — команда «Add Mesh → Cube», создающая куб с центром в начале координат и стороной, равной единице. Из куба методом экструзии, булевых операций и модификаторов строятся более сложные объекты.
В программировании куб часто используется как эталонный объект для тестирования алгоритмов рендеринга, коллизий и пространственных структур данных (октодеревья, кубические окрестности).
¶Куб в математике и логике
Куб — частный случай параллелепипеда и призмы с квадратным основанием. Он допускает вписанные и описанные сферы: радиус вписанной сферы равен $a/2$, радиус описанной сферы — $a\sqrt{3}/2$. Куб является двойственным тетраэдру октаэдра: центры граней куба образуют вершины октаэдра, и наоборот.
Задача о разрезании куба на меньшие кубы одинакового размера без остатка решается только для случаев, когда отношение большего ребра к меньшему является целым числом. Задача о кубе, дважды возведённом в квадрат (делимость куба на два куба равного объёма), была доказана невозможной в 1933 году Д. К. Демьяновым.
¶Интересные факты
- Куб упоминается в «Тимее» Платона, где он связан с элементом земли.
- В православной традиции кубический план храма (в частности, храма Покрова на Нерли) символизирует землю и материальный мир.
- Кубик Рубика — механическая головоломка, состоящая из 26 видимых подкубиков и одной внутренней осевой конструкции; общее число возможных положений кубика равно $43\,252\,003\,274\,489\,856\,000$.
Источники:
- Клейн Ф. «Элементарная математика с точки зрения высшей»
- Демьянов Д. К. «Неразрешимость задачи о кубе и проблемы о трёх кубах» (1933)
- Федоров Е. С. «Элементы представлений о пространственных группах»
- Глазер А. А. «Элементарная геометрия с точки зрения высшей геометрии»