Квадратичная функция¶

Квадратичная функция — это функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$, $c$ — действительные числа, причём $a \neq 0$. Квадратичная функция относится к числу элементарных алгебраических функций и является многочленом второй степени. График квадратичной функции называется параболой. Квадратичные функции и уравнения с ними изучаются в школьном курсе алгебры и являются одним из базовых объектов математического анализа и алгебры.

¶Свойства функции

При $a > 0$ парабола направлена ветвями вверх и имеет наименьшее значение; при $a < 0$ — вниз и имеет наибольшее значение. Ось симметрии параболы — прямая $x = -\frac{b}{2a}$. Вершина параболы, то есть точка экстремума, имеет координаты $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант квадратичного трёхчлена.

Дискриминант определяет число корней соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

• при $D > 0$ уравнение имеет два различных корня;
• при $D = 0$ — один корень (двойной);
• при $D < 0$ — корней нет в области действительных чисел.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Эта формула известна как формула корней квадратного уравнения и входит в обязательную программу средней школы.

¶Квадратичное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с $a \neq 0$. Помимо формулы корней, для его решения применяют метод выделения полного квадрата, который лежит в основе вывода этой формулы. Связь между корнями и коэффициентами уравнения выражается теоремами Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$$

Теоремы Виета позволяют восстанавливать уравнение по его корням и широко используются при решении олимпиадных и вступительных задач.

¶Графическое представление

Парабола — кривая второго порядка, открытая ветвями вверх или вниз в зависимости от знака $a$. Она симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину. Параметр $|a|$ определяет «ширину» параболы: чем больше $|a}$, тем уже парабола. Параметры $b$ и $c$ отвечают за сдвиги графика: $c$ — за вертикальный сдвиг (значение функции при $x = 0$), $b$ — за сдвиг вершины вдоль оси абсцисс.

При $D > 0$ парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, при $D = 0$ — касается её, при $D < 0$ — не пересекает. Положение параболы относительно оси ординат определяется знаком $c$.

¶Применение

Квадратичные функции встречаются во многих областях:

• Физика. Формула свободного падения $h = h_0 - \frac{gt^2}{2}$, траектория тела, брошенного под углом к горизонту, зависимость напряжения от сопротивления в цепи (эффект максимальной мощности), кинетическая энергия $E_k = \frac{mv^2}{2}$.
• Геометрия. Площадь прямоугольника при фиксированном периметре, площадь круга как функция радиуса, задачи на оптимизацию.
• Экономика и оптимизация. Модель издержек и выручки, поиск максимума прибыли, квадратичная аппроксимация данных.
• Техника и вычислительная математика. Метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных, интерполяция параболой, численные методы.

¶История

Решение квадратных уравнений известно с древности. Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) умели решать задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, хотя без современного алгебраического аппарата. Индийский математик Брахмагупта (VII век) сформулировал правила решения квадратных уравнений, включая случай отрицательного дискриминанта. Персидский учёный аль-Хорезми (IX век) в трактате «Об исчислении алгебры и мукабалы» систематизировал методы решения квадратных уравнений; от его имени произошло слово «алгебра». В XVI веке итальянские математики (Тарталья, Кардано, Бомбелли) разработали общую формулу корней, включая комплексные.

¶Интересные факты

• Слово «парабола» происходит от греческого parabolē — «сопоставление, приложение».
• Параболоид вращения — поверхность, полученная вращением параболы вокруг её оси, — используется в конструкции радиотелескопов и прожекторов благодаря свойству параболы отражать параллельные лучи в одну точку — фокус.
• Квадратичные формы являются основой квадратичной оптимизации и лежат в основе многих алгоритмов машинного обучения.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Шабунин М. И. Задачи и упражнения по математическому анализу.
• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
• Никольский С. М. Математический анализ.