Парабола — кривая второго порядка¶

Парабола — плоская кривая второго порядка, являющаяся ортогональным сечением правого кругового конуса, параллельным одной из его образующих. В аналитической геометрии парабола определяется как множество точек, равноудалённых от данной точки (фокуса) и данной прямой (директории). Парабола относится к классу конических сечений и обладает рядом свойств, нашедших применение в физике, оптике, технике и архитектуре.

¶Определение и уравнение

В декартовой системе координат каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью абсцисс, имеет вид:

y² = 2px,

где p — параметр (фокальное расстояние, равное расстоянию от фокуса до директрисы). Точка F(p/2; 0) называется фокусом, прямая x = −p/2 — директрисой. Вершина параболы — точка пересечения кривой с её осью симметрии.

При p > 0 парабола обращена ветвями в сторону положительного направления оси абсцисс, при p < 0 — в сторону отрицательного. Парабола, уравнение которой имеет вид y = ax² + bx + c, называется параболой с вертикальной осью симметрии; её вершина находится в точке с координатами (−b/2a; c − b²/4a).

¶Свойства

Парабола обладает следующими основными свойствами:

• Одна ось симметрии, проходящая через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Вершина — единственная точка кривой, лежащая на оси симметрии; в ней парабола имеет экстремум (минимум или максимум в зависимости от направления ветвей).
• Фокальные свойства: любая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы. Сумма или разность расстояний до двух фокусов, в отличие от эллипса и гиперболы, не является постоянной.
• Оптическое свойство: пучок лучей, идущих параллельно оси параболы, после отражения от параболической поверхности собирается в фокусе. Обратное также верно: лучи, исходящие из фокуса, после отражения становятся параллельными оси. Это свойство лежит в основе работы параболических антенн, фар и зеркал телескопов.
• Механическое свойство: тело, брошенное под углом к горизонту в поле тяжести (без учёта сопротивления воздуха), движется по параболической траектории.

Парабола не имеет центра симметрии и не является замкнутой кривой; её ветви уходят в бесконечность, причём при удалении от вершины кривая всё более приближается к своей оси симметрии.

¶Связь с другими коническими сечениями

Парабола — предельный случай эллипса и гиперболы: при эксцентриситете e, стремящемся к единице, эллипс вырождается в окружность (при e = 0) или в параболу (при e → 1), а гипербола при e → 1 также переходит в параболу. В проективной геометрии парабола рассматривается как коническое сечение, касающееся направления на бесконечности, поэтому она имеет одну, а не две точки на бесконечности, как эллипс (нуль), или гипербола (две).

¶Практическое применение

Параболическая форма используется в самых разных областях:

• Архитектура и строительство: параболические арки и своды (например, конструкции Антонио Гауди) равномерно распределяют нагрузку. Параболическая форма применяется в мостостроении и оболочках.
• Техника: параболические зеркала телескопов-рефлекторов, радиотелескопов и солнечных печей; параболические антенны (спутниковые тарелки); фары автомобилей и прожекторы, формирующие параллельный пучок света.
• Физика и астрономия: траектории снарядов, спутников на параболических орбитах (вторая космическая скорость), отражение волн в параболических волноводах.
• Математика: парабола — базовая кривая при изучении функций второго порядка, квадратичных уравнений, интегрирования и аналитической геометрии.

¶История

Термин «парабола» восходит к греческому παραβολή (parabolē) — «сопоставление, сравнение» и был введён Аполлонием Пергамским в III веке до н. э. в трактате «Конические сечения». Греческие математики рассматривали параболу как одно из трёх конических сечений наряду с эллипсом и гиперболой. В XVII веке Галилео Галилей установил, что траектория снаряда в поле тяжести — парабола, что стало одним из первых применений аналитической геометрии к физическим задачам. Развитие теории конических сечений связано с именами Декарта, Ферма, Ньютона и Эйлера.

¶Интересные факты

• Парабола — единственная из конических сечений, у которой все хорды, параллельные оси симметрии, имеют равные проекции на эту ось.
• Свойство параболического зеркала использовалось в древности: по преданию, Архимед сжёг корабли римского флота, используя параболические зеркала, концентрирующие солнечные лучи.
• Уравнение y = x² — одна из первых функций, изучавшихся в школьном курсе алгебры, и именно с неё начинается знакомство с графиками функций.

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. «Геометрия. 7–9 классы»
• Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа»
• Аполлоний Пергамский. «Конические сечения»
• Роджерс К. «Геометрия» (пер. с англ.)