L-функция Артина

L-функция Артина — это аналитическая функция комплексного переменного, ассоциированная с линейным представлением группы Галуа числового поля. Она обобщает L-функции Дирихле и L-функции Гекке и является центральным объектом в теории чисел, алгебраической геометрии и теории автоморфных форм. L-функции Артина гипотетически удовлетворяют функциональному уравнению и гипотезе Римана (в рамках гипотезы Артина), что делает их ключевым инструментом для изучения распределения простых чисел в расширениях полей.

История

L-функции Артина были введены Эмилем Артином в 1923 году в серии работ, посвящённых теории полей классов и обобщению закона взаимности. Артин стремился построить аналитический аналог L-функций Дирихле для произвольных представлений группы Галуа, чтобы описать поведение простых идеалов в расширениях полей. В 1927 году он сформулировал гипотезу о том, что L-функции Артина являются целыми функциями (за исключением тривиального представления), что стало известно как гипотеза Артина. Впоследствии, в 1930-х годах, работы Гельмута Хассе и других математиков подтвердили частные случаи этой гипотезы для абелевых расширений. В 1960-х годах Роберт Ленглендс связал L-функции Артина с автоморфными формами, что привело к формулировке программы Ленглендса — глобальной теории, объединяющей теорию чисел и гармонический анализ.

Определение

Пусть \(K\) — числовое поле (конечное расширение поля \(\mathbb{Q}\)), а \(\overline{K}\) — его алгебраическое замыкание. Группа Галуа \(G = \text{Gal}(\overline{K}/K)\) — это группа автоморфизмов \(\overline{K}\), сохраняющих \(K\). Для любого конечного расширения \(L/K\) группа Галуа \(\text{Gal}(L/K)\) является факторгруппой \(G\). L-функция Артина ассоциируется с линейным представлением \(\rho: G \to \text{GL}(V)\), где \(V\) — конечномерное комплексное векторное пространство. Такое представление обычно рассматривается как непрерывное (в топологии Крулля) и факторизуется через конечное расширение \(L/K\), то есть \(\rho\) задаётся на \(\text{Gal}(L/K)\).

Определение через эйлерово произведение

Для каждого простого идеала \(\mathfrak{p}\) кольца целых чисел поля \(K\) (за исключением конечного числа «плохих» простых, где представление разветвлено) определяется локальный множитель. Пусть \(F_{\mathfrak{p}} \in \text{Gal}(L/K)\) — элемент Фробениуса, определённый с точностью до сопряжения. Для неразветвлённого \(\mathfrak{p}\) L-функция Артина задаётся эйлеровым произведением:

\[ L(s, \rho) = \prod_{\mathfrak{p}} \det\left( I - \rho(F_{\mathfrak{p}}) \cdot N(\mathfrak{p})^{-s} \right)^{-1}, \]

где \(s\) — комплексное число, \(N(\mathfrak{p})\) — норма идеала \(\mathfrak{p}\) (мощность поля вычетов), а \(I\) — единичная матрица. Для разветвлённых простых в произведение включаются поправочные множители, зависящие от подгруппы инерции.

Функциональное уравнение

L-функция Артина, дополненная гамма-множителями, удовлетворяет функциональному уравнению, связывающему \(s\) и \(1-s\). Это уравнение выводится из теории полей классов и аналитического продолжения, которое, как предполагается, существует для всех представлений. Для абелевых представлений (одномерных) функциональное уравнение было доказано Гекке, а для общего случая — остаётся гипотетическим, хотя для многих частных случаев оно установлено.

Свойства

Аналитическое продолжение

Гипотеза Артина утверждает, что для любого нетривиального неприводимого представления \(\rho\) L-функция \(L(s, \rho)\) может быть аналитически продолжена до целой функции на всей комплексной плоскости. Для тривиального представления она имеет простой полюс в \(s=1\). Эта гипотеза доказана для одномерных представлений (теория полей классов) и для некоторых двумерных представлений (например, связанных с модулярными формами). В общем случае она остаётся открытой, хотя программа Ленглендса предполагает, что L-функции Артина совпадают с L-функциями автоморфных форм, для которых аналитическое продолжение известно.

Функциональное уравнение

Функциональное уравнение для L-функции Артина имеет вид:

\[ \Lambda(s, \rho) = \varepsilon(\rho) \cdot \Lambda(1-s, \rho^*), \]

где \(\Lambda(s, \rho)\) — полная L-функция (с гамма-множителями), \(\rho^*\) — контрагредиентное представление, а \(\varepsilon(\rho)\) — константа (корень из единицы). Это уравнение является следствием двойственности Артина и обобщает функциональное уравнение для дзета-функции Римана.

Гипотеза Римана для L-функций Артина

Обобщённая гипотеза Римана (GRH) для L-функций Артина утверждает, что все нетривиальные нули \(L(s, \rho)\) лежат на прямой \(\text{Re}(s) = 1/2\). Это предположение не доказано, но является основой для многих результатов в теории чисел, таких как оценки распределения простых чисел.

Связь с другими объектами

L-функции Дирихле

L-функции Дирихле являются частным случаем L-функций Артина, соответствующим одномерным представлениям группы Галуа кругового поля. В этом случае представление задаётся характером Дирихле, и L-функция совпадает с классической L-функцией Дирихле.

L-функции Гекке

L-функции Гекке (с гроссенхарактерами) также являются одномерными L-функциями Артина, но для произвольных числовых полей. Они обобщают L-функции Дирихле на случай неабелевых расширений.

Автоморфные формы

Программа Ленглендса предсказывает, что для любого неприводимого представления \(\rho\) существует автоморфная форма (или представление) на группе \(\text{GL}_n\), L-функция которой совпадает с \(L(s, \rho)\). Это было доказано для \(n=1\) (теория полей классов) и для \(n=2\) (теорема Ленглендса для модулярных форм, доказанная в 1970-х). Для \(n>2\) гипотеза остаётся открытой, хотя есть значительные продвижения, например, для представлений, связанных с эллиптическими кривыми.

Применение

L-функции Артина используются для изучения распределения простых чисел в расширениях полей. Например, с их помощью формулируется обобщённый закон плотности Чеботарёва, который описывает, как часто простые идеалы расщепляются в данном расширении. Они также применяются в теории эллиптических кривых (гипотеза Бёрча — Суиннертон-Дайера), в алгебраической геометрии (гипотеза Вейля) и в криптографии (анализ стойкости криптосистем на основе эллиптических кривых).

Примеры

Пример 1: Круговое поле

Рассмотрим круговое поле \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\), где \(\zeta_n\) — примитивный корень из единицы. Группа Галуа \(\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\) изоморфна \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\). Одномерные представления этой группы — это характеры Дирихле. L-функция Артина для такого представления совпадает с L-функцией Дирихле \(L(s, \chi)\).

Пример 2: Квадратичное расширение

Пусть \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\) — квадратичное поле. Группа Галуа \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\) порядка 2 имеет два одномерных представления: тривиальное и знаковое (характер, принимающий значение -1 на нетривиальном автоморфизме). L-функция для знакового представления — это L-функция Дирихле с квадратичным характером, связанная с дискриминантом поля.

Пример 3: Неабелево представление

Для расширения с группой Галуа \(S_3\) (симметрическая группа на трёх элементах) существует двумерное неприводимое представление. L-функция Артина для этого представления не является L-функцией Дирихле, но, согласно гипотезе Ленглендса, она должна совпадать с L-функцией модулярной формы веса 1. В 1970-х годах это было доказано для некоторых случаев.

Критика и нерешённые проблемы

Несмотря на важность L-функций Артина, многие ключевые вопросы остаются открытыми. Гипотеза Артина о целости L-функций доказана только для абелевых представлений и некоторых двумерных. Гипотеза Римана для L-функций Артина не доказана ни для одного нетривиального случая. Кроме того, программа Ленглендса, хотя и подтверждена для многих частных случаев, не имеет полного доказательства. Отсутствие эффективных методов вычисления L-функций для больших полей также ограничивает их применение.

См. также

• L-функция Дирихле
• Гипотеза Артина
• Программа Ленглендса
• Группа Галуа
• Теория полей классов

Источники

1. Artin, E. (1923). "Über eine neue Art von L-Reihen". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg.
2. Langlands, R. P. (1970). "Problems in the theory of automorphic forms". Lectures in Modern Analysis and Applications.
3. Neukirch, J. (1999). Algebraic Number Theory. Springer.
4. Serre, J.-P. (1968). "Abelian ℓ-adic Representations and Elliptic Curves". W. A. Benjamin.
5. Tate, J. (1977). "Number Theory and Algebraic Geometry". Proceedings of the International Congress of Mathematicians.