Логарифм — математическая функция¶
Логарифм — это математическая функция, обратная возведению в степень. Она отвечает на вопрос: «в какую степень нужно возвести число, чтобы получить заданное?». Логарифм числа a по основанию b — это показатель степени, в которую нужно возвести b, чтобы получить a. Если bˣ = a, то x = log_b(a). Логарифмы применяются в вычислительной технике, инженерии, естественных науках и финансах, поскольку упрощают умножение и деление, превращая их в сложение и вычитание.
¶Происхождение термина
Слово «логарифм» происходит от греческих слов logos (отношение, пропорция) и arithmos (число). Термин ввёл шотландский математик Джон Непер (1550—1617) в 1614 году в трактате «Описание удивительных законов логарифмов». Непер искал способ упростить астрономические вычисления, при которых приходилось многократно умножать и делить числа. Логарифмы позволяли заменить эти операции сложением и вычитанием, что резко ускоряло расчёты.
Идея была развита Генри Бриггсом, который в 1617 году опубликовал первые таблицы десятичных логарифмов (логарифмов по основанию 10). Именно они получили название «логарифмы Бриггса» и использовались учёными и инженерами на протяжении трёх столетий — до появления электронных калькуляторов.
¶Основные свойства
Логарифм определён только для положительных чисел и при основании, отличном от единицы. Основные свойства:
- log_b(1) = 0, так как любое число в нулевой степени равно единице;
- log_b(b) = 1, так как b в первой степени равно b;
- log_b(bˣ) = x — логарифм «снимает» степень;
- b^(log_b(a)) = a — обратное свойство.
¶Правила вычислений
Главное преимущество логарифмов — превращение операций умножения и деления в сложение и вычитание:
| Операция над числами | Эквивалентная операция над логарифмами |
|---|---|
| a · b | log(a) + log(b) |
| a / b | log(a) − log(b) |
| aⁿ | n · log(a) |
| ⁿ√a | (1/n) · log(a) |
Эти свойства делают логарифмы незаменимыми при вычислениях с очень большими или очень малыми числами.
¶Виды логарифмов
¶Десятичный логарифм
Логарифм по основанию 10, обозначается lg x. Используется в научных измерениях, шкале децибел, кислотности pH. Например, lg 100 = 2, так как 10² = 100.
¶Натуральный логарифм
Логарифм по основанию e ≈ 2,71828, обозначается ln x. Число e — иррациональное число, открытое Якобом Бернулли при изучении сложного процента. Натуральный логарифм встречается в математическом анализе, теории вероятностей, физике и экономике. Свойство ln x — единственная функция, производная которой равна самой себе (с точностью до множителя).
¶Двоичный логарифм
Логарифм по основанию 2, обозначается lb x или log₂ x. Широко применяется в информатике: количество бит, необходимых для представления числа, равно lg x (округлённому вверх). Логарифмическая шкала используется при оценке сложности алгоритмов.
¶График функции
График логарифма — монотонно возрастающая кривая, если основание больше единицы, и монотонно убывающая, если основание меньше единицы. Функция определена только для x > 0, имеет вертикальную асимптоту x = 0 и проходит через точку (1, 0). Графики логарифмов с разными основаниями пересекаются в этой точке.
¶Применение
¶Наука и техника
Логарифмические шкалы используются для измерения величин с огромным диапазоном значений: сейсмическая шкала Рихтера (магнитуда землетрясений), шкала децибел (громкость звука), кислотность pH (водородный показатель), звёздные величины в астрономии. В каждом случае разница в единицу шкалы соответствует кратному изменению физической величины.
¶Информатика
Логарифмы лежат в основе оценки сложности алгоритмов. Алгоритмы с временем работы, пропорциональным log n (например, бинарный поиск), считаются одними из самых эффективных. Структуры данных — бинарные деревья, хеш-таблицы — также используют логарифмические закономерности.
¶Финансы
При расчёте сложного процента и аннуитетных платежей применяется натуральный логарифм. Он позволяет определить время удвоения вклада, оценить доходность инвестиций и решать уравнения роста.
¶Естественные науки
В физике логарифмы встречаются в законах затухания, распространении волн, термодинамике. В биологии — при описании роста популяций. В химии — при расчёте pH растворов.
¶Интересные факты
- До изобретения калькуляторов логарифмические таблицы были обязательным инструментом инженеров и учёных. Непер посвятил их созданию более 20 лет.
- Слово «логарифм» Непер образовал от греческого logos, что также означает «слово» или «разум» — в те времена математические термины часто имели философский подтекст.
- Число e было названо в честь Леонарда Эйлера, хотя открыл его Якоб Бернулли. Эйлерь ввёл обозначение e и разработал теорию натуральных логарифмов.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Непер Дж. Описание удивительных законов логарифмов (1614)
- Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений
- Виленкин Н. Я. Математика в занимательных примерах