Максимум (значения)¶

Максимум (от лат. maximum — «наибольшее») — термин, обозначающий верхний предел, наибольшее значение или количество чего-либо в заданном множестве, системе или процессе. Понятие используется в математике, физике, экономике, лингвистике и других областях для описания предельных характеристик объектов.

¶Математическое определение

В математике максимумом функции или множества называется наибольшее значение, которое принимает рассматриваемая величина. Строгое определение различает максимум (глобальный, абсолютный) и локальный максимум. Глобальный максимум — это значение, которое больше или равно всем остальным значениям функции на всей области определения. Локальный максимум — значение, которое является наибольшим лишь в некоторой окрестности данной точки.

Для функции одной переменной необходимым условием существования экстремума (максимума или минимума) в точке является равенство нулю первой производной (теорема Ферма). Достаточное условие проверяется по знаку второй производной: если в стационарной точке вторая производная отрицательна, то функция имеет в этой точке локальный максимум.

В теории множеств максимумом числового множества называют наибольший элемент, если он существует. Не всякое ограниченное сверху множество имеет максимум: например, интервал (0, 1) не содержит наибольшего элемента, хотя ограничен сверху. В таких случаях используется понятие точной верхней грани (супремума).

¶Виды максимумов

В зависимости от контекста выделяют несколько типов максимумов:

• Глобальный и локальный — по охвату области определения.
• Строгий и нестрогий — строгий максимум достигается в единственной точке, нестрогий допускает несколько точек с одинаковым наибольшим значением.
• Условный максимум — наибольшее значение при наличии ограничений (решается методом множителей Лагранжа).
• Дискретный максимум — наибольший элемент конечного набора данных.

В математическом анализе также существует понятие максимума последовательности — наибольшего члена последовательности, если он существует.

¶Принцип максимума

В теории дифференциальных уравнений и вариационном исчислении важную роль играет принцип максимума. Согласно этому принципу, решение эллиптического уравнения (например, уравнения Лапласа) достигает своего максимального значения на границе области. Для параболических уравнений действует аналогичное утверждение.

В теории оптимального управления принцип максимума Понтрягина (сформулирован советским математиком Львом Понтрягиным в 1956 году) является необходимым условием оптимальности для задач управления. Он обобщает классическое вариационное исчисление и широко применяется в экономике, аэрокосмической технике и робототехнике.

¶Максимум в физике

В физике понятие максимума используется для описания предельных значений физических величин. Примеры:

• Максимум спектральной плотности излучения описывается законом смещения Вина: длина волны, на которой излучение абсолютно чёрного тела максимально, обратно пропорциональна температуре.
• Максимум интерференционной картины — точки, в которых наблюдается усиление волн (конструктивная интерференция).
• Максимум функции распределения Максвелла — наиболее вероятная скорость молекул газа при данной температуре.

В квантовой механике принцип максимума применяется к волновым функциям и плотностям вероятности.

¶Экономический смысл

В экономике понятие максимума связано с задачами оптимизации: максимизация прибыли, полезности, выпуска продукции. Фирма достигает максимума прибыли при равенстве предельных издержек предельному доходу. Потребитель максимизирует полезность при бюджетном ограничении — точка оптимума находится на бюджетной линии.

В микроэкономике выделяют максимум общественного благосостояния, максимум налоговых поступлений (кривая Лаффера), максимум монопольной прибыли. Задачи на максимум решаются методами линейного программирования, в частности симплекс-методом.

¶Максимум в лингвистике

В языкознании термин «максимум» употребляется в составе устойчивых выражений и как самостоятельное слово со значением предельной степени проявления признака. В русском языке слово «максимум» функционирует как:

• существительное (наречие): «довести до максимума»;
• наречие в значении «самое большее»: «займёт максимум час»;
• часть сложных слов: «максимальный», «максимизировать».

В речевой практике различают коммуникативный максимум (принципы Грайса — максимум количества, качества, отношения и способа) — правила, которым следуют участники диалога для эффективного общения.

¶Максимум в других областях

В спорте термин используется для обозначения предельного результата: «максимум в жиме лёжа», «максимальная скорость». В информатике — максимальное значение типа данных (например, MAXINT). В метеорологии — максимум температуры за сутки или сезон. В статистике — максимум выборки, важная порядковая статистика, используемая в теории экстремальных значений.

В теории экстремальных значений (ЭвЖ, EVT) изучаются распределения максимумов больших выборок. Фундаментальный результат — теорема Фишера — Типпета — Гнеденко, согласно которой нормированные максимумы сходятся к одному из трёх типов распределений: Гумбеля, Фреше или Вейбулла. Теория применяется для оценки рисков катастрофических событий (наводнения, землетрясения, финансовые кризисы).

¶Критика и ограничения понятия

Понятие максимума имеет границы применимости. В квантовой механике действует принцип неопределённости Гейзенберга, ограничивающий одновременную точность измерения координаты и импульса. В теории относительности существует предел скорости света, но не существует абсолютного максимума энергии. В экономике максимизация прибыли может вступать в противоречие с этическими и социальными нормами, что порождает критику чисто максимизационного подхода. В экологии концепция максимальной урожайности критикуется за игнорирование долгосрочной устойчивости экосистем.

В философии понятие максимума рассматривалось Николаем Кузанским в трактате «О максимуме и минимуме»: он утверждал, что абсолютный максимум совпадает с абсолютным минимумом (совпадение противоположностей), что является характерной чертой его учения о Боге.

¶См. также

• Минимум
• Экстремум
• Оптимум
• Супремум