Медиана треугольника¶

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы треугольника являются важнейшими линиями, построенными в треугольнике, и обладают набором геометрических свойств, активно используемых в школьной и академической геометрии.

¶Определение и построение

Пусть $ABC$ — треугольник, $M$ — середина стороны $BC$. Тогда отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$, проведённой из вершины $A$. Аналогично определяются медианы $BN$ и $CP$, где $N$ и $P$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно.

Медиану можно построить с помощью циркуля и линейки: чтобы найти середину стороны, достаточно провести два окружности с одинаковым радиусом, большим половины стороны, из концов отрезка; точки пересечения окружностей определяют серединный перпендикуляр, а его точка пересечения с стороной — середину стороны.

¶Основные свойства

¶Теорема о точке пересечения медиан

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести (или центроидом) треугольника и обозначаемой обычно буквой $G$ (от нем. Gravitationszentrum). Центр тяжести делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины к середине противоположной стороны. Например, если $AM$ — медиана, то $AG : GM = 2 : 1$.

Доказательство теоремы проводится, например, с помощью теоремы Менелая или метода векторов: если $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ — радиус-векторы вершин, то центр тяжести задаётся формулой $\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})$.

¶Площадь

Каждая медиана делит треугольник на два меньших треугольника равной площади. Действительно, треугольники $ABM$ и $ACM$ имеют равные основания $BM = MC$ и общую высоту из вершины $A$, поэтому их площади равны и составляют по половине площади исходного треугольника.

¶Теорема Аполлония

Для любой медианы $m_a$, проведённой к стороне $a$, справедливо соотношение:

$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4},$$

где $b$ и $c$ — длины двух других сторон. Это соотношение называется теоремой Аполлония (или формулой медианы). Следуя из неё, сумма квадратов длин трёх медиан выражается через стороны:

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2).$$

¶Неравенства

Длина медианы, проведённой к наименьшей стороне, является наибольшей, и наоборот. Также для любой медианы справедливо неравенство $m_a < \frac{b+c}{2}$ — медиана меньше полу суммы двух других сторон.

¶Частные случаи

¶Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все три медианы равны между собой, совпадают с высотами, биссектрисами и серединными перпендикулярами к сторонам. Центр тяжести совпадает с центром описанной и вписанной окружностей.

¶Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой угла при вершине («нормаль»). Две другие медианы равны между собой.

¶Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $m_c = \frac{c}{2}$. Это следует из свойства: точка середины гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин (центр описанной окружности прямоугольного треугольника).

¶Медианы и другие элементы

Медианы тесно связаны с другими построениями в треугольнике. Центр тяжести треугольника является также центром тяжести трёх равных точечных масс, расположенных в вершинах. В физике центр тяжести треугольной пластины однородной плотности совпадает с точкой пересечения медиан.

Теорема Вариньона утверждает, что отрезки, соединяющие середины сторон произвольного четырёхугольника, образуют параллелограмм; медианы треугольника тесно связаны с этим построением, поскольку середины сторон треугольника являются вершинами треугольника Вариньона для любого описанного параллелограмма.

¶Применение

Медианы применяются в задачах на построение, при вычислении площадей и длин, в аналитической геометрии (задача о центре масс, координаты центра тяжести). Теорема о точке пересечения медиан и формула длины медианы входят в обязательные программы школьного курса геометрии и используются при решении олимпиадных задач.

¶Литература

• Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов. — М.: Просвещение.
• Пригожин А. И. Задачи по геометрии: пособие для учителей. — М.: Просвещение.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Определения, свойства, построения. — М.: Физматгиз.