Мера иррациональности¶

Мера иррациональности (также константа иррациональности, показатель иррациональности) — числовая характеристика вещественного числа, показывающая, насколько хорошо данное число может быть приближено рациональными дробями. Формально мера иррациональности числа \( \alpha \) — это точная верхняя грань множества таких чисел \( \mu \), для которых неравенство \( \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^\mu} \) имеет бесконечно много решений в целых числах \( p \) и \( q \) (\( q > 0 \)).

¶Определение

Пусть \( \alpha \) — вещественное число. Для каждого рационального приближения \( \frac{p}{q} \) (\( q > 0 \)) рассматривается величина \( \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| \), которая показывает точность приближения. Мера иррациональности \( \mu(\alpha) \) определяется как:

\[ \mu(\alpha) = \inf \left\{ \mu \in \mathbb{R} \mid \text{существует лишь конечное число } \frac{p}{q} \text{ таких, что } \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^\mu} \right\}. \]

Иными словами, \( \mu(\alpha) \) — это граница, выше которой неравенство \( \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^\mu} \) имеет лишь конечное число решений, а ниже — бесконечное. Для рациональных чисел \( \alpha = \frac{a}{b} \) мера иррациональности равна 1, так как для любого \( \mu > 1 \) существует лишь конечное число приближений, а для \( \mu \le 1 \) — бесконечное (включая тривиальное приближение самим собой). Для иррациональных чисел \( \mu(\alpha) \ge 2 \), что следует из теоремы Дирихле о приближении.

¶Свойства

• Рациональные числа: \( \mu(\alpha) = 1 \).
• Иррациональные числа: \( \mu(\alpha) \ge 2 \). Для почти всех (в смысле меры Лебега) вещественных чисел \( \mu(\alpha) = 2 \). Это следствие теоремы Хинчина о метрической теории диофантовых приближений.
• Алгебраические числа: для алгебраических иррациональностей (корней многочленов с целыми коэффициентами) мера иррациональности равна 2. Это следует из теоремы Рота (1955), за которую Клаус Рот получил Филдсовскую премию. Теорема утверждает, что для любого алгебраического иррационального числа \( \alpha \) и любого \( \epsilon > 0 \) неравенство \( \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{2+\epsilon}} \) имеет лишь конечное число решений. Таким образом, \( \mu(\alpha) = 2 \).
• Трансцендентные числа: для многих трансцендентных чисел (например, числа \( \pi \), \( e \), \( \ln 2 \)) мера иррациональности известна с некоторой точностью, но её точное значение часто не установлено. Для некоторых чисел (например, числа Лиувилля) мера иррациональности может быть бесконечной.

¶История

Понятие меры иррациональности восходит к работам по диофантовым приближениям. В XIX веке Йозеф Лиувилль доказал, что для алгебраических чисел степени \( n \) существует граница: \( \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| > \frac{C}{q^n} \) для некоторой константы \( C > 0 \). Это дало первый критерий трансцендентности — числа, приближаемые рациональными дробями с показателем, большим степени, являются трансцендентными.

В XX веке последовали улучшения: Аксель Туэ (1909) снизил показатель до \( n/2 + 1 \), Карл Зигель (1921) — до \( 2\sqrt{n} \), а Фримен Дайсон (1947) — до \( \sqrt{2n} \). Окончательный результат для алгебраических чисел (показатель 2) получил Клаус Рот в 1955 году. За это открытие он был удостоен Филдсовской медали в 1958 году.

¶Мера иррациональности для конкретных чисел

¶Число \( \pi \)

Для числа \( \pi \) мера иррациональности известна с верхней оценкой. Первые оценки были получены в XX веке. В 1953 году Курт Малер показал, что \( \mu(\pi) \le 42 \). В 1974 году М. Хатта и А. Шиокава улучшили оценку до 20. В 1990-х годах оценка была снижена до 8. В 2008 году французский математик Фабрис Беллард получил оценку \( \mu(\pi) \le 7.6063 \). В 2020 году группа математиков (К. Зеев, Д. Симмонс, У. Циглер) улучшила её до \( \mu(\pi) \le 7.1032 \). Точное значение \( \mu(\pi) \) неизвестно, но предполагается, что оно равно 2.

¶Число \( e \)

Для числа \( e \) (основания натуральных логарифмов) мера иррациональности точно равна 2. Это следует из свойств цепных дробей числа \( e \), которые имеют регулярную структуру. В 1978 году А. Бейкер доказал, что для любого \( \epsilon > 0 \) существует лишь конечное число решений неравенства \( \left| e - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{2+\epsilon}} \).

¶Число \( \ln 2 \)

Для натурального логарифма 2 мера иррациональности оценивается сверху. В 1997 году П. Бундшух и Д. Вильдон получили оценку \( \mu(\ln 2) \le 5.44 \). В 2003 году М. Прест и Д. Терри улучшили её до 3.891. В 2010 году оценка была снижена до 3.574. Точное значение неизвестно.

¶Постоянная Апери \( \zeta(3) \)

Для дзета-функции Римана в точке 3 (\( \zeta(3) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \)) мера иррациональности известна с оценкой. В 1979 году Роже Апери доказал иррациональность \( \zeta(3) \). В 1998 году К. Ривест и Д. Симмонс показали, что \( \mu(\zeta(3)) \le 5.513 \). В 2001 году оценка была улучшена до 4.791, а в 2010 году — до 4.116. В 2022 году группа математиков (Ф. Зудилин, В. Хименес) получила оценку \( \mu(\zeta(3)) \le 3.98 \). Точное значение неизвестно.

¶Числа Лиувилля

Числа Лиувилля — это трансцендентные числа, которые могут быть приближены рациональными дробями со сколь угодно большим показателем. Для них \( \mu(\alpha) = \infty \). Примером служит постоянная Лиувилля: \( \sum_{n=1}^\infty 10^{-n!} = 0.110001000000000000000001\ldots \).

¶Применение

Мера иррациональности используется в теории чисел для доказательства трансцендентности чисел, в диофантовых приближениях, а также в задачах, связанных с оценками решений диофантовых уравнений. Например, теорема Рота применяется для доказательства конечности числа решений некоторых экспоненциальных диофантовых уравнений.

В криптографии и теории кодирования оценки меры иррациональности используются для анализа сложности алгоритмов, основанных на цепных дробях.

¶Связанные понятия

• Мера трансцендентности — обобщение меры иррациональности на случай приближения алгебраическими числами.
• Константа иррациональности — синоним меры иррациональности, хотя иногда под этим термином понимают конкретное значение \( \mu(\alpha) \).
• Диофантовы приближения — раздел теории чисел, изучающий приближение вещественных чисел рациональными.

¶Источники

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Наука, 1978.
• Baker A. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975.
• Roth K. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. — 1955. — Vol. 2. — P. 1–20.
• Zudilin W. On the irrationality measure of \(\pi\) // Russian Mathematical Surveys. — 2002. — Vol. 57, No. 3. — P. 611–612.