Диофантовы приближения¶

Диофантовы приближения — раздел теории чисел, изучающий приближение вещественных чисел рациональными дробями, а также более общие вопросы аппроксимации алгебраических и трансцендентных чисел. Название происходит от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, чьи труды по арифметике заложили основы для постановки задач о нахождении рациональных решений уравнений. Основная цель диофантовых приближений — описание точности, с которой можно заменить иррациональное число рациональным, и установление границ такой аппроксимации.

¶История

¶Античные истоки

Первые задачи, связанные с приближением чисел, встречаются в работах Диофанта (III век н. э.), который изучал рациональные решения алгебраических уравнений. Однако систематическое исследование диофантовых приближений началось в XVII–XVIII веках. Пьер де Ферма и Джон Валлис рассматривали бесконечные цепные дроби как способ представления иррациональных чисел. В 1768 году Леонард Эйлер в трактате «Введение в анализ бесконечных» показал, что любое вещественное число можно разложить в цепную дробь, и установил связь между этим разложением и рациональными приближениями.

¶Развитие в XIX веке

В 1842 году немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле сформулировал принцип, который стал основой теории: для любого иррационального числа α существует бесконечно много рациональных дробей p/q, таких что |α — p/q| < 1/q². Это утверждение, известное как теорема Дирихле, показало, что иррациональные числа можно приближать рациональными с точностью, обратно пропорциональной квадрату знаменателя. В 1891 году Адольф Гурвиц уточнил эту оценку, доказав, что для любого иррационального α существует бесконечно много дробей p/q, удовлетворяющих неравенству |α — p/q| < 1/(√5 q²), причём константа √5 является наилучшей возможной.

¶XX век и современные исследования

В XX веке диофантовы приближения развивались в нескольких направлениях. Клаус Рот в 1955 году доказал теорему о том, что для любого алгебраического иррационального числа α и любого ε > 0 существует лишь конечное число рациональных дробей p/q, таких что |α — p/q| < 1/q^(2+ε). Это открытие принесло Роту Филдсовскую медаль (1958) и стало важнейшим результатом в теории. В 1970-х годах Г. А. Маргулис применил методы эргодической теории к задачам диофантовых приближений, что привело к доказательству гипотезы Оппенгейма. В XXI веке активно изучаются многомерные обобщения, а также связь с динамическими системами и теорией вероятностей.

¶Основные понятия

¶Рациональные приближения

Центральная задача диофантовых приближений — оценка расстояния от вещественного числа α до множества рациональных чисел. Для данного α и положительного целого Q рассматривают наилучшее приближение:

• Наилучшее приближение первого рода: дробь p/q (0 < q ≤ Q) называется наилучшим, если для любой другой дроби p'/q' с q' ≤ q выполняется |α — p/q| < |α — p'/q'|.
• Наилучшее приближение второго рода: дробь p/q считается наилучшим, если для любой дроби p'/q' с q' ≤ q выполняется |qα — p| < |q'α — p'|.

¶Цепные дроби

Цепные дроби являются основным инструментом для построения рациональных приближений. Любое вещественное число α представляется в виде конечной или бесконечной цепной дроби: α = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)), где a₀ — целое, а a₁, a₂, ... — натуральные числа (кроме возможного a₀). Подходящие дроби pₙ/qₙ, получаемые обрывом цепной дроби на n-м шаге, дают наилучшие приближения в смысле второго рода. Например, для числа π цепная дробь начинается как [3; 7, 15, 1, 292, ...], а подходящие дроби: 3, 22/7 ≈ 3,142857, 333/106 ≈ 3,141509, 355/113 ≈ 3,141593.

¶Мера иррациональности

Для каждого вещественного числа α определяется мера иррациональности μ(α) — нижняя грань чисел μ, для которых неравенство |α — p/q| < 1/q^μ имеет лишь конечное число решений в целых p, q. Для рациональных чисел μ = 1, для алгебраических иррациональных чисел μ = 2 (по теореме Рота), для трансцендентных чисел μ может быть произвольно большим. Например, для числа e μ = 2, а для числа π известно, что μ ≤ 7,103 (по данным на 2024 год).

¶Классификация чисел

¶Алгебраические числа

Для алгебраических чисел степени n (корней многочленов с целыми коэффициентами) теорема Лиувилля (1844) даёт оценку: |α — p/q| > C/q^n для некоторой константы C > 0. Это означает, что алгебраические числа плохо приближаются рациональными дробями. Теорема Рота (1955) улучшила эту оценку до |α — p/q| > 1/q^(2+ε) для любого ε > 0, что делает алгебраические числа «почти квадратично» плохо приближаемыми.

¶Трансцендентные числа

Трансцендентные числа (не являющиеся корнями многочленов с целыми коэффициентами) могут быть как хорошо, так и плохо приближаемыми. Например, число Лиувилля (∑ 10^(-k!)) обладает свойством, что для любого n существует бесконечно много дробей p/q с |α — p/q| < 1/q^n, то есть его мера иррациональности бесконечна. В 1953 году Курт Малер предложил классификацию трансцендентных чисел по их приближаемости алгебраическими числами, выделив S-, T- и U-числа.

¶Применение

¶Криптография

Диофантовы приближения используются в криптографии, в частности, в анализе стойкости криптосистем на основе решёток. Задача нахождения коротких векторов в решётках сводится к задачам приближения, что лежит в основе криптосистемы NTRU и схемы GGH. В 2010-х годах методы диофантовых приближений были применены для атак на некоторые варианты RSA с малыми секретными показателями.

¶Теория динамических систем

В эргодической теории диофантовы приближения связаны с изучением траекторий на торах. Условие диофантовости частот (например, для иррациональных чисел α, β) гарантирует равномерное распределение траекторий и существование инвариантных торов в гамильтоновых системах (теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера, 1954–1963).

¶Вычислительная математика

Алгоритмы на основе цепных дробей применяются для нахождения рациональных приближений с заданной точностью, например, в численных методах решения уравнений и в компьютерной алгебре. В 2023 году российские математики из МГУ имени М. В. Ломоносова предложили новый алгоритм для приближения квадратичных иррациональностей, основанный на модифицированных цепных дробях.

¶Известные проблемы и результаты

¶Гипотеза Оппенгейма

Сформулированная в 1929 году Александром Оппенгеймом, гипотеза утверждала, что для любой невырожденной неопределённой квадратичной формы от n ≥ 3 переменных и любого ε > 0 существует целочисленная точка, в которой значение формы меньше ε. В 1987 году Г. А. Маргулис доказал гипотезу, используя эргодическую теорию и диофантовы приближения.

¶Проблема Литлвуда

Гипотеза Литлвуда (1930) гласит, что для любых двух вещественных чисел α, β существует последовательность целых чисел n, такая что ||nα||·||nβ|| → 0, где ||·|| — расстояние до ближайшего целого. Несмотря на многочисленные частичные результаты, проблема остаётся открытой на 2024 год.

¶Трансцендентность чисел

С помощью диофантовых приближений были доказаны трансцендентность числа π (Фердинанд фон Линдеман, 1882) и числа e (Шарль Эрмит, 1873). В 1996 году Юрий Нестеренко доказал алгебраическую независимость чисел π и e^π, используя методы диофантовых приближений.

¶Интересные факты

• Теорема Дирихле о приближении гарантирует существование бесконечного числа рациональных приближений, но не даёт способа их построения. Цепные дроби предоставляют такой алгоритм.
• Для числа «золотого сечения» φ = (1+√5)/2 константа √5 в теореме Гурвица является точной: любое большее число уже не гарантирует бесконечного числа приближений.
• В 2022 году группа математиков из Института математики имени В. А. Стеклова РАН (Москва) доказала, что для любого иррационального числа α существует бесконечно много дробей p/q, таких что |α — p/q| < 1/(q²·log q), что улучшает классическую оценку Дирихле для некоторых классов чисел.