Метод Кондорсе

Метод Кондорсе — это избирательная система, в основе которой лежит принцип выявления победителя, способного в попарном сравнении одержать верх над любым другим кандидатом. Такой кандидат называется победителем по Кондорсе (или кондорсетовским победителем). Метод был предложен французским математиком и философом маркизом де Кондорсе в XVIII веке и является одной из альтернатив мажоритарным и плюралитарным системам голосования, направленной на более полное отражение коллективных предпочтений избирателей.

История возникновения

Метод был разработан и опубликован в 1785 году в работе «Опыт применения анализа к вероятности решений, принимаемых большинством голосов» (фр. Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix). Мари Жан Антуан Никола де Карита, маркиз де Кондорсе (1743—1794), французский философ-просветитель, математик и политический деятель, занимался проблемами теории вероятностей и социального выбора. Он стремился создать математически строгую процедуру, которая позволила бы выявлять «истинную волю большинства» в условиях, когда избиратели ранжируют нескольких кандидатов по степени предпочтения.

Кондорсе исходил из того, что при голосовании за двух кандидатов победитель определяется простым большинством. Если же кандидатов больше двух, то необходимо провести все возможные попарные сравнения. Кандидат, который побеждает во всех таких сравнениях, и является наиболее предпочтительным для общества в целом. Этот подход стал основой для развития современной теории общественного выбора и социального выбора.

Принцип работы

Попарное сравнение

Для определения победителя по Кондорсе каждый избиратель предоставляет полное ранжирование всех кандидатов (от наиболее предпочтительного к наименее предпочтительному). Затем для каждой пары кандидатов (A, B) подсчитывается, сколько избирателей поставили A выше B, и сколько — B выше A. Кандидат, набравший больше голосов в данной паре, считается победившим в этом сравнении.

Победитель по Кондорсе

Кандидат, который побеждает во всех попарных сравнениях со всеми остальными кандидатами, объявляется победителем по Кондорсе. Если такой кандидат существует, он считается наиболее репрезентативным выражением коллективной воли.

Пример

Рассмотрим трёх кандидатов: X, Y, Z. Пусть 100 избирателей распределили свои предпочтения следующим образом:

• 40 избирателей: X > Y > Z
• 30 избирателей: Y > Z > X
• 30 избирателей: Z > Y > X

Попарные сравнения:

• X vs Y: X получает 40 голосов, Y — 60 (30+30). Побеждает Y.
• X vs Z: X получает 40 голосов, Z — 60. Побеждает Z.
• Y vs Z: Y получает 70 (40+30) голосов, Z — 30. Побеждает Y.

Y побеждает и X, и Z, следовательно, Y является победителем по Кондорсе.

Парадокс Кондорсе

Основная теоретическая проблема метода — парадокс Кондорсе (или парадокс голосования). Он заключается в том, что при определённом распределении предпочтений избирателей не существует победителя по Кондорсе. Вместо этого возникает цикл: кандидат A побеждает B, B побеждает C, а C побеждает A. Такая ситуация делает невозможным однозначное определение «воли большинства» на основе попарных сравнений.

Условия возникновения

Парадокс возникает, когда предпочтения избирателей нетранзитивны. Например:

• 1/3 избирателей: A > B > C
• 1/3 избирателей: B > C > A
• 1/3 избирателей: C > A > B

Попарные сравнения дают цикл: A побеждает B (2/3 против 1/3), B побеждает C (2/3 против 1/3), C побеждает A (2/3 против 1/3). Победитель по Кондорсе отсутствует.

Частота возникновения

Вероятность возникновения парадокса Кондорсе растёт с увеличением числа кандидатов и избирателей. При трёх кандидатах и большом числе избирателей она составляет около 5-10% (в зависимости от модели распределения предпочтений). При четырёх кандидатах — около 15-20%, при пяти — до 30% и выше. В реальных выборах с несколькими кандидатами вероятность парадокса может быть значительной, что требует использования дополнительных правил разрешения.

Методы разрешения парадокса

Поскольку победитель по Кондорсе существует не всегда, на практике применяются различные процедуры для выбора победителя в условиях цикла. Эти методы называются методами Кондорсе (в широком смысле) или правилами разрешения.

Правило Копленда

Кандидат, набравший наибольшее количество побед в попарных сравнениях (с учётом ничьих), объявляется победителем. Победа даёт +1 очко, ничья — +0.5, поражение — 0. Этот метод прост, но может приводить к неоднозначности при равном числе побед.

Правило Симпсона (или минимакс)

Победителем считается кандидат, у которого наибольшее минимальное количество голосов, полученных в любом попарном сравнении. Иными словами, выбирается кандидат, чьё «наихудшее» поражение является наименее серьёзным. Этот метод устойчив к циклам, но может игнорировать некоторые предпочтения.

Правило Шульце (или метод Шульце-Бернса)

Один из наиболее популярных методов, используемый, например, в голосованиях в проектах Debian, Ubuntu и Викимедиа. Он основан на поиске «путей» между кандидатами в графе попарных сравнений. Победителем считается кандидат, который может «добраться» до любого другого кандидата по цепочке побед с наибольшим минимальным запасом голосов. Метод удовлетворяет многим критериям справедливости, но сложен для ручного подсчёта.

Правило Тийдемана (или ранжированные пары)

Попарные сравнения сортируются по убыванию разницы голосов. Затем они последовательно «закрепляются» (фиксируются), если не создают цикла. В итоге строится полный порядок кандидатов, и победителем становится кандидат, стоящий на первом месте. Этот метод также широко используется в академических кругах.

Сравнение с другими избирательными системами

Плюралитарная система (относительное большинство)

В системе, где побеждает кандидат с наибольшим числом голосов (первое место), победитель может не быть победителем по Кондорсе, если большинство избирателей предпочитают другого кандидата. Например, при трёх кандидатах и голосовании за одного, кандидат с 40% голосов может выиграть, хотя 60% избирателей предпочитают ему другого. Метод Кондорсе лишён этого недостатка, но требует ранжирования.

Мажоритарная система (абсолютное большинство)

В системе с двумя турами победитель может быть определён во втором туре, но это не гарантирует, что он является победителем по Кондорсе, так как избиратели могут стратегически голосовать в первом туре. Метод Кондорсе более устойчив к стратегическому голосованию, но не полностью.

Пропорциональные системы

Метод Кондорсе не предназначен для пропорционального представительства, а лишь для выбора одного победителя. Для многомандатных округов применяются другие методы, такие как STV (единый передаваемый голос), который также использует ранжирование, но не основан на попарных сравнениях.

Критика и ограничения

Сложность подсчёта

Для N кандидатов необходимо провести N*(N-1)/2 попарных сравнений. При большом числе кандидатов (например, 10 — это 45 сравнений) ручной подсчёт становится трудоёмким, хотя компьютеры легко справляются с этой задачей.

Требование к избирателям

Избиратели должны быть способны ранжировать всех кандидатов, что может быть сложно при большом числе кандидатов или при отсутствии чётких предпочтений. Это может приводить к неполным или неискренним ранжированиям.

Уязвимость к стратегическому голосованию

Хотя метод Кондорсе более устойчив к стратегическому голосованию, чем плюралитарная система, он не является полностью иммунным. Избиратели могут манипулировать ранжированием, чтобы создать цикл или изменить исход.

Отсутствие победителя

Парадокс Кондорсе делает невозможным однозначное определение победителя без дополнительных правил, что может вызывать споры о легитимности выбранного метода разрешения.

Применение в реальных выборах

Метод Кондорсе и его производные используются в основном в организациях и сообществах, где важна точность отражения предпочтений, а не в государственных выборах. Примеры:

• Голосования в проектах Debian и Ubuntu — используется метод Шульце.
• Выборы в Викимедиа (например, в совет попечителей) — также применяется метод Шульце.
• Некоторые политические партии (например, шведская партия «Пираты») — используют метод Кондорсе для внутренних выборов.
• Академические исследования — метод часто применяется в экспериментах по теории общественного выбора.

В государственных выборах метод Кондорсе применяется редко из-за сложности подсчёта, необходимости обучения избирателей и отсутствия законодательной базы в большинстве стран. Однако в некоторых странах (например, в Ирландии и Австралии) используются системы ранжированного голосования, которые не являются методами Кондорсе, но имеют с ними общие черты.

Источники

• Кондорсе, Ж. А. Н. де. «Опыт применения анализа к вероятности решений, принимаемых большинством голосов» (1785).
• Arrow, K. J. «Social Choice and Individual Values» (1951).
• Tideman, T. N. «Independence of Clones as a Criterion for Voting Rules» (1987).
• Schulze, M. «A New Monotonic, Clone-Independent, Reversal-Symmetric, and Condorcet-Consistent Single-Winner Election Method» (2011).
• Nurmi, H. «Comparing Voting Systems» (1987).